Оценка шумов квантования при неравномерном квантовании.

При неравномерном квантовании шаг квантования не остается постоянным, а является переменным и изменяется по определенно­му закону. Если потребовать постоянства защищенности от шумов квантования в заданном динамическом диапазоне для всех уровней входных сигналов, то можно легко определить, воспользовавшись формулами (8) и (10), зависимость шага квантования от мгновенного значения напряжения и_вх (или тока) квантуемого сигнала:

. (36)

Из формулы (36) следует, что для слабых сигналов шаг кванто­вания должен быть минимальным и возрастает с увеличением напряжения (тока) сигнала, т.е. должна быть нелинейная шкала квантования. Амплитудная характеристика соответствующего квантующего устройства при неравномерном квантовании показана на рис. 3.

Получение переменного шага квантования может быть реализо­вано следующими способами:

1) сжатием динамического диапазона сигнала с помощью ком­прессора (К) перед кодированием его в кодирующем устройстве с линейной шкалой квантования и последующим его расширением экспандером (Э) после декодирования (рис. 4); совокупность опера­ций, проводимых компрессором и экспандером, называется компандированием сигнала; характеристика компандирования (К - Э), т.е. каскадного соединения компрессора и экспандера, должна быть линейной;

2) нелинейным кодированием и декодированием;

3) цифровым компандированием.

Указанные способы практически равноценны, но для теоретиче­ских исследований, последующих выводов и дальнейшей реализа­ции различных методов неравномерного квантования, рассмотрим неравномерное квантование с помощью компандирования сигнала.

Для зависимости, изображенной на рис. 4, где по осям отложены нормированные значения входных х = U_вх/U_вxмакх и выходных у = U_выхx/ U_{выxмакх} сигналов, добиваются того, чтобы при изменении приращение было бы постоянным, а приращение - обратно пропорционально наклону характеристики, т.е.

(37)

Соответственно шаг квантования по оси х будет равен

(38)

Если число уровней квантования М в нормированном (от 1 до минус 1) диапазоне, то

4 (39)

Среднюю мощность шума, обусловленного неравномерным квантованием, можно определить по выражениям (5)...(8), если вместо шага квантования подставить его значение в каждом шаге квантования. Подставив выражение (39) в формулу (7), получим

(40)

Для расчета мощности шумов квантования при большом числе уровней квантования М операцию суммирования можно заменить интегрированием, тогда

(41)

здесь w (х) - плотность распределения вероятности нормированно­го сигнала на входе квантующего устройства.

Мощность сигнала можно выразить через его плотность распре­деления вероятности w (x) нормированного сигнала на выходе квантующего устройства

.

Тогда отношение сигнал-шум квантования (ОСШК) с учетом (41) будет иметь вид

(42)

Для обеспечения постоянства ОСШК необходимо, чтобы

(43)

Подставив в формулу (43) выражение (37), получим

Так как постоянно, то получим

Проинтегрировав правую и левую части последнего выражения, получим

где - постоянная интегрирования. Отсюда

(44)

Для нахождения постоянных этого выражения необходимо учи­тывать граничные условия закона изменений у = ф(х): 1) при х = О, у = 0 и 2) при х = 1, у = 1.

Первое условие приводит к нереализуемому результату. Зави­симость полученной функции не переходит через начало координат (рис. 5). Чтобы обеспечить реализацию, следует несколько изме­нить выражение (44) или изменить начальные условия.

При изменении выражения (44) под знак логарифма вводим по­стоянную С₃:

(45)

тогда, подставляя нулевые граничные условия, получим значение постоянной С₃ = 1. Подставив второе граничное условие, найдем значение для С₂

Подставив последнее выражение в (45) и учитывая, что С₃ = 1, получим,

(46)

Компаундирование, осуществляемое по закону, описываемому формулой (46), называется логарифмическим с характеристикой типа (или -закон компаундирования). Параметр называется коэффициентом сжатия и определяется из соотношения

(47)

Здесь и - максимальное и минимальное значение шага квантования соответственно. Чем больше коэффициент сжатия , тем больше разница между и . Вид характеристики -закона компаундирования для различных значений коэффициента сжатия показан на рис. 5. Выбор коэффициента сжатия зависит от характе­ристик входных сигналов. В существующих цифровых системах передачи принимают

= 255.

Для больших значений коэффициента сжатия защищенность от шумов квантования двуполярных сигналов может быть опреде­лена по формуле:

(48)

Из последнего выражения следует, что выбор коэффициента сжатия оказывает большое влияние на защищенность от шумов квантования.

Если = 255, то для т = 7 имеем А_кв = 32 дБ, а при т = 8 соот­ветственно А_кв = 38 дБ.

Вернемся к выражению (44). При изменении начальных условий реализацию обеспечивают таким образом. Будем считать, что равенство (44) действительно только на участках от у = 1 до точки х₁ (см. рис. 6), в которой касательная к функции у (х) проходит через начало координат (штриховая линия), то на основании (44) и второ­го граничного условия получим:

и, следовательно,

Если теперь принять , где е - основание натуральных ло­гарифмов, то

Так как эта функция действует только до определенной точки ха­рактеристики x₁ после которой логарифмическая характеристика переходит в касательную прямую, проходящую через начало коор­динат, то

В это точке равны производные обеих функций, т.е.

(50)

Приравняем выражения (49) и (50):

, что возможно, если х₁ = 1/А Отсюда

Тогда

(51)

Закон компаундирования, описываемый выражениями (51), назы­вается Л-законом. Параметр А, называемый параметром сжатия (компрессии), обычно выбирается равным 87,6. Этот закон компаун­дирования нашел широкое применение в европейских странах, в том числе и в России. Входные сигналы, напряжение которых меньше U_макс /A, подвергаются линейному кодированию, а сигналы, напряжение которых больше и_макс/А, подвергаются неравномерному квантованию по логарифмическому закону.

Нелинейное квантование позволяет значительно улучшить за­щищенность А_кв в области малых сигналов за счет ее некоторого снижения для сигналов с большим уровнем. Выигрыш от компаунди­рования прямо пропорционален крутизне характеристики ком­прессии (сжатия) и для слабых сигналов может быть определен отношением шага квантования равномерного квантования к шагу квантования неравномерного квантования при U_вx -> 0. Мощность шумов квантования при равномерном квантовании рассчитывается по формуле (8). При неравномерном квантовании для слабых сиг­налов она будет определяться наименьшим шагом квантования

Тогда выигрыш в защищенности за счет неравномерного кванто­вания

(52)

здесь W_c- мощность полезного сигнала.

Шаг квантования зависит от крутизны характеристики компрес­сора (см. рис. 4) и согласно выражению (38), отношение равно dy/dx. При компаундировании по А -закону для сигналов меньших или равных значениям 1/А (выражение 51) производная и для А = 87,6 выигрыш в защищенности от шумов квантования будет равен .

Для сравнения на рис. 7 приведены зависимости А_кв защищенно­сти от входного уровня сигнала р_вх при равномерном (линейном), линия 1, и неравномерном (нелинейном) квантовании, линия 2.

Таким образом, неравномерное квантование для А закона компаундирования позволяет, увеличив защищенность на 24 дБ, умень­шить на 24/6 = 4 число разрядов кода, обеспечив требуемую защищенность от шумов квантования для наиболее слабых рече­вых сигналов при восьмиразрядном кодировании вместо двенадца­тиразрядного при равномерном (линейном) квантовании.

В современных цифровых системах передачи используют циф­ровые компаундерные устройства (компрессоры и экспандеры -сжиматели и расширители), которые объединены и взаимодейству­ют вместе с кодирующими и декодирующими устройствами. При этом в качестве функции у (х) применяют характеристику гипотети­ческого компрессора, которая представляет собой аппроксимацию одного из законов компаундирования ( или А) ломаной линией.

Энергетический спектр шума квантования. Шум квантова­ния, образующийся в результате дискретизации и квантования, представляет собой последовательность некоррелированных им­пульсов со случайной амплитудой (см. рис. 1, б). Энергетический спектр такой последовательности описывается выражением

(53)

где - длительность импульса; Т_д _ период дискретизации; -дисперсия шума квантования. Форма энергетического спектра шума квантования показана на рис. 8.

Из (53) следует, что по мере уменьшения длительности импуль­сов отсчетов энергетический спектр шума квантования становит­ся все более равномерным и при шум квантования превращается в «белый шум», имеющий постоянный энергетиче­ский спектр в широкой полосе частот, значительно превышающей ширину спектра сигнала.

Как отмечалось ранее (см. лекцию 9), демодуляция АИМ сигнала осуществляется фильтром нижних частот (ФНЧ), частота среза которого равна верхней частоте спектра сигнала Р_макс. Поскольку квантованный АИМ сигнал на входе демодулятора можно рассмат­ривать как сумму исходного АИМ сигнала и шума квантования, для оценки отношения сигнал-шум квантования (ОСШК) на выходе демодулятора рассмотрим прохождение через ФНЧ неискаженного сигнала и шума.

Мощность низкочастотной составляющей спектра АИМ сигнала в раз меньше мощности исходного сигнала (для m_а = 1), а мак­симальная частота этого спектра не может превышать половины частоты дискретизации. Мощность шума квантования на выходе демодулятора АИМ сигнала в полосе частот от нуля до половины частоты дискретизации . будет равна

На верхней частоте аргумент

При

Тогда выражение для мощности шумов квантования принимает вид

(54)

Отсюда ОСШК на выходе ФНЧ демодулятора равно

Следовательно, при использовании в демодуляторе АИМ кван­тованного сигнала ФНЧ с полосой пропускания, равной половине частоты дискретизации, ОСШК на выходе фильтра равно отноше­нию полных мощностей сигнала и шума квантования. Поэтому при расчетах можно считать, что спектр шума квантования сосредото­чен в области частот и имеет в пределах этого диапазона равномерную спектральную плотность

(55)

Если сигнал занимает полосу частот меньшую, чем , то целе­сообразно граничную частоту ФНЧ демодулятора принять равной верхней частоте сигнала , поскольку такой фильтр подавит часть шума квантования, лежащую в частотном диапазоне от до , а сигнал пропустит полностью.

При неравномерном квантовании можно также считать, что спектр шума квантования является равномерным в полосе частот от 0 до.

Знание спектра шумов квантования особенно важно, когда под­лежащий кодированию сигнал является групповым сигналом много­канальной системы передачи с частотным разделением каналов. В этом случае шум на выходе канала обуславливается не только квантованием сигнала именно этого канала, но и квантованием группового сигнала; этот процесс создает широкополосный шум, часть которого попадает в канальный фильтр системы передачи с частотным разделением каналов. Если все каналы предназначают­ся для использования в одинаковом режиме (скажем, для передачи только телефонных сообщений), то их средние сигналы следует считать также одинаковыми и, следовательно, спектр шума являет­ся равномерным.