Применение критерия к логарифмическим характеристикам

При использовании критерия Найквиста можно рассматривать не амплитудно-фазовую частотную характеристику системы, а ее логарифмические частотные характеристики. Пусть разомкнутая система устойчива, тогда устойчивость замкнутой системы по Найквисту определится положением годографа W(j) по отношению к контрольной точке(рис. 86).

Если годограф W(j)не охватывает контрольную точку (кривая 1), то замкнутая система устойчива, если охватывает (кривая 2), – система неустойчива. В точке пересечения АФЧХ с отрицательным направлением вещественной оси (частота₁) угол фазового сдвига. Для устойчивой системы частота среза_с(при этой частоте АФЧХ пересекает единичную окружность и при этом, а) меньше частоты₁, при которой фазовый угол равен -. Для неустойчивой системы соотношение этих частот обратное:.

Таким образом, для устойчивой системы частота среза меньше частоты для фазового угла в -, а для неустойчивой системы соотношение этих частот обратное. Это условие легко проверяется с использованием логарифмических частотных характеристик системы.

На рис. 87 показаны логарифмические частотные характеристики для устойчивой (1) и неустойчивой (2) систем: L() – логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ),()– логарифмическая фазовая характеристика (ЛФХ),_с– частота среза системы,₁– частота фазового угла-(или-180).

Для устойчивой системы и частота, при которой угол фазового сдвига, соответствует области отрицательных ординат логарифмической амплитудной характеристикиL(). Для неустойчивой системы (логарифмическая амплитудная характеристика 2)и частота₁соответствует области положительных значений ординат ЛАХ (т.е. на этой частоте коэффициент усиления системы больше единицы).

Следовательно, система будет устойчива, если точка пересечения ЛАХ с осью частот лежит левее точки пересечения ЛФХ с прямой, соответствующей фазовому сдвигу .

Для устойчивой системы величина угла(рис. 87) характеризует запас устойчивости системы по фазе, ордината ЛАХзапас устойчивости системы по амплитуде.

В том случае, когда АФЧХ системы имеет вид ("клювообразный" вид), показанный на рис. 88а, ЛФХ будет пересекать границу несколько раз (рис. 88б). В этом случае для устойчивости системы необходимо, чтобы число пересечений ЛФХ границы, лежащих левее частоты среза,было бы четным. На рис. 88б левее частоты срезаимеются два пересечения на частотах₁и₂, следовательно, система устойчива.

Логарифмический критерий устойчивости обладает большой простотой и наглядностью, что обуславливает его распространенность при исследовании устойчивости системы. Если использовать асимптотические логарифмические частотные характеристики системы, то простота применения критерия ещё более очевидна.