1.Исследование линейной непрерывной системы автоматического управления

Задание:

1) Найти передаточную функцию разомкнутой системы W(s) и передаточную функцию замкнутой системы Ф(s), ;

2) Построить область устойчивости системы в плоскости общего коэффициента передачи К = К₁К₂К₃ и постоянной времени Т₂ при заданных значения Т₁ и Т₃. Найти граничное значение при заданном значении Т₂, при котором система выходит на границу устойчивости.

3) Построить графики логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик L(w) и ц(w) при значении коэффициента передачи K=0,7K.

4) Оценить запасы устойчивости по модулю ?L и фазе ? ц, величину ошибки по скорости е_ск при v(t) = v₁t и f= 0, время переходного процесса t_p и перерегулирование у в исходной системе при K=0,7K.

5) Если исходная система не удовлетворяет заданным в таблице 1 показателям качества t_p, у, е_ск (хотя бы одному из них) или имеет малые запасы устойчивости, то провести коррекцию системы (последовательного или параллельного типа) и найти передаточную функцию корректирующего устройства.

6) Вычислить в скорректированной системе переходный процесс на выходе y(t) при подаче на вход единичной ступенчатой функции v(t)=1(t)( f= 0). Найти t_p, у по переходному процессу и сравнить их с требуемым по заданию.

Исходные данные:

Структура исследуемой замкнутой линейной непрерывной САУ представлена на рис. 1.1, где v(t)- управляющее воздействие, (f)- возмущающее воздействие, е(t)- сигнал ошибки, y(t)- выходной сигнал. Значения параметров Т₁ Т₂, Т₃ заданы в табл. 1. Размерность Т₁ Т₂, Т₃ в секундах, общий коэффициент передачи К = К₁К₂К₃ имеет размерность 1/с, в табл. 1 заданы также желаемые показатели качества системы: максимальная ошибка по скорости е_ск при скачке по скорости v(t) = v₁t и f= 0, время переходного процесса t_п.п в секундах, и перерегулирование у в процентах.

Таблица 1. Структура исследуемой замкнутой линейной непрерывной САУ

Рисунок 1.1

Выполнение:

1. Требуемые передаточные функции находят с использованием правил структурных преобразований. Коротко сформулируем основные правила:

Передаточные функции последовательно соединенных звеньев перемножаются.

Передаточные функции параллельно соединенных звеньев складываются.

Передаточная функция системы с обратной связью - это передаточная функция замкнутой системы, которая определяется по формуле:

(по условию)

Передаточная функция разомкнутой системы W(s) = Y(s)/U(s) при f= 0, e = u (т.е. разомкнута главная обратная связь) определится выражением:

где обозначим К = К₁К₂К₃,

0,03135

1,12127

5,223

Главная передаточная функция или передаточная функция замкнутой системы при f = 0:

Передаточная функция по ошибке при f= 0, которая позволяет выразить ошибку e(t) в системе при известном входном воздействии:

Передаточная функция по возмущению при и = 0 позволяет выразить влияние возмущения на выходной сигнал:

2. . Передаточная функция разомкнутой исходной системы имеет вид W(s) = K/sL(s), где L(s) = (T₁s+1)(T₂s +1)(T₃s+1). Характеристическое уравнение замкнутой системы будет D(s) = K+L(s)s = b₀s⁴ +b_}s³ +b₂s² +b₃s + b₄ =0, где при заданных из таблицы исходных данных числовых значениях Т₁ и Т₃ коэффициенты b_j будут зависеть от параметров К и Т₂. Применение критерия Гурвица к характеристическому уравнению четвертого порядка дает следующие условия устойчивости:

b₃(b₁b₂-b₀b₃)-b₄b₁² > 0, b, > 0, i = 0,...,4.

Приравнивая в написанных соотношениях правые части нулю, найдем зависимость К от Т₂ и построим в плоскости К и Т₂ границы устойчивости, ограничивающие некоторую область устойчивости. При заданном параметре Т₂ находим граничное значение К_ГР коэффициента передачи К.

К = К₁К₂К₃

b₀==0,165=с₀

5,033 с₀

b₃=1 b₄=K

Выразим К через параметр Т₂:

Зависимость К(Т₂) приведена на рис. 1.2

Рис.1.2

K_гр=K_T2=0.19=4,633

3. Полагая К = 0.7К_ГР, записываем аналитическое выражение для ц(w)= argW(jw), L(w) = 20lg|W(jw)| из W(s) при s = jw.

К=0.7К_гр= 3,243

Передаточную функцию разомкнутой системы можно записать в виде:

где

тогда:

где

Строим графики логарифмических характеристик разомкнутой системы, с помощью MATLAB (оператор bode или margin) Рис. 1.3 а.

Рис. 1.3а

Строим график АФЧХ с помощью MATLAB (оператор nyquist) рис. 1.3 б для разомкнутой системы.

Рис 1.3 б

Запасы устойчивости по модулю и фазе определяются по логарифмическим характеристикам (см. рис. 1.3 а): на частоте среза w_с определяется запас по фазе --?ц, а запас по амплитуде ?L - на частоте при которой ц(w) = -180. Таким образом, ?L?0. 1дБ, ?ц? 0°, что является недостаточным.

4. Величина ошибки по скорости определяется как e_ск=V₁/K. Для ориентировочной оценки t_пп и у следует построить переходной процесс h(t) (оператор step в MATLAB) при v(t) = 1[t] и по нему определить t_пп и у.

Для получения уравнений состояний в нормальной форме используем дифференциальное уравнение замкнутой системы

D(s)y(t)=Kv(t). Если D(s)=b₀s⁴+b₁s³+b₂s²+b₃s+b₄=0, ,то уравнение состояния имеет вид

Для описания динамических систем в пространстве состояний в Matlab применяются модели подкласса ss, которые основаны на линейных дифференциальных или разностных уравнениях.

Модель непрерывной системы в подклассе ss имеет вид:

где: х - вектор состояния; v- вектор входа; у - вектор выхода.

Для формирования моделей в подклассе ss предназначена функция ss

sys=ss(A,B,C,D)

В результате под именем sys получаем ss-объект с числовыми характеристиками в виде четверки матриц {А, В, С, D}, которые должны иметь согласованные размеры. Матрицу D в данном случае полагаем равной 0.

Для построения переходного процесса h(t) воспользуемся оператором step в MATLAB.

Реализация функций имеет вид:

sys=ss([0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-b4/b0 -b3/b0 -b2/b0 -b1/b0],[0 0 0 K/b0], eye(4), zeros(4,1))

a =

x1 x2 x3 x4

x1 0 1 0 0

x2 0 0 1 0

x3 0 0 0 1

x4 -104.6 -32.26 -168.5 -36.16

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 0

x4 104.6

c =

x1 x2 x3 x4

y1 1 0 0 0

y2 0 1 0 0

y3 0 0 1 0

y4 0 0 0 1

d =

u1

y1 0

y2 0

y3 0

y4 0

Continuous-time model.

>> step(sys)

В результате получим графики представленные на рис. 1.4. Нас будетинтересовать Out(l). Величина ошибки по скорости определяется как:

е_ск=V₁/K = 1,4/3,243 = 0,432>е_скзад = 0,04.

Для ориентировочной оценки t_nn и о следует построить переходной процесс h{t) (оператор step в MATLAB) при v(t)=1(t) и по нему определить t_пп и у. Эти величины из графика Out(l) определяются следующим образом:

Время переходного процесса определяется с учетом следующих соотношений: е_уст=v(t)/(l+K), где v(t)=l[t], а К=3,243 - общий коэффициент передачи разомкнутой системы. Тогда е_уст= 1/(1+3,243)=0,236 и следовательно t_пп из графика Out(l) t_пп ?50с > t_ппзад = 2.5с.

Рис 1.4

Таким образом, исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать.

5. Если исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать. В случае применения частотных методов синтеза коррекции строится желаемая ЛАЧХ L_ж(w). В низкочастотной части желаемой ЛАЧХ при сохранении порядка астатизма (наличие интегратора 1/s в системе) требуемый коэффициент усиления выбирается из соотношения Kz=v₁/e_ск=1,4 / 0.04 = 35. На частоте среза желательно иметь наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек с протяженностью этого участка не менее одной декады. Далее среднечастотная часть ЛАЧХ сопрягается с низкочастотной отрезком прямой с наклоном -40(если необходимо -60) дБ/дек, а высокочастотная часть желаемой и исходной ЛАЧХ по возможности должны совпадать.

Учет требований качества переходного процесса: t_пп и у, запасов устойчивости учитываются при формировании среднечастотной области L_ж(w). Здесь можно воспользоваться графиком (рис. 1.5).

Рис 1.5

По графику рис. 1.5 для заданных значений у и t_nn находим w_п, и затем из соотношения w_c = (0.6 - 0.9) w_п, частоту среза w_c.

В наше случае: (как показано на рис.1.5) для у =10%, t_р=3р/щ_п ,откуда для t_р значение щ_п= 3р/1,5=6,8 1/с и щ_c=5 1/с.

Сопряжение среднечастотного участка с низкочастотным и высокочастотным (рис. 1.6) должно быть таким, чтобы была проще коррекция и чтобы изломы, по возможности, были не более чем на 20 дБ/дек (протяженность участка около декады). Тогда, выберем L₂?10дБ на частоте щ₂=(0.1-0.5)щ_с=2.5<щ_с=5 и L₃? -10 дБ на частоте щ₃⁼25 ? щ_с=5. Введем обозначения:

Величину щ₁ найдем из условия равенства значений L_ж(щ₁)=L_исх(щ₁). Это

соотношение приводит к следующему выражению:

В последнем выражении обозначено:

щ=0.1w₂

L(щ)=50 дБ

L(щ₂)=10 дБ

L(щ₃^p)=L(0.476)=21,18 дБ

L(щ₂)=L(1.2)=-35,743 дБ

Последние две величины находятся из выражения для L_исх(w).

Найденное по формуле значение щ₁=0.098

ЛАЧХ корректирующего устройства с характеристикой L_k(w) соответствует функция:

где:

Общая передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном последовательного типа имеет вид:

Далее воспользуемся функцией zpk(z, р, К), где z и р - векторы из нулей и полюсов, a Kd - обобщенный коэффициент передачи, sys - любое имя присваиваемое модели. Тогда запись в системе Matlab примет вид:

sys1=zpk([-1/t2k -1/t3k],[0 -1/t1 -1/t2 -1/t3 -1/t1k -1/t4k],kd)

Zero/pole/gain:

58.2 (s+2.5) (s+0.4762)

-------------------------------------------------

s (s+7.143) (s+4.167) (s+25) (s+0.4762) (s+0.097)

Рис. 1.6

6. Для нахождения переходных характеристик замкнутой системы с корректирующим звеном предварительно сформируем модель в пространстве состояний. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Для нахождения Ф(s) воспользуемся следующей последовательностью команд:

>>sys1=zpk([-1/t2k -1/t3k],[0 -1/t1 -1/t2 -1/t3 -1/t1k -1/t4k],kd)

Zam_ck=inv(l+sysl)*sysl - находится передаточная функция замкнутой системы. (Не оптимальная форма т.к. при такой последовательности команд не производится упрощение за счет сокращения одинаковых элементов числителя и знаменателя. В тоже время на результат дальнейшего расчета это не влияет).

>>Zam_ck=inv(1+sys1)*sys1

Переходная характеристика (рис. 1.7 ) находится с помощью функций: 0,05

Из рассмотрения рис. 1.7 видно, что параметры по заданию выполняются.

Рис 1.7

Для устранения неоптимальности записи в Zam_ck=inv(l+sysl)*sysl можно в диалоговом режиме произвести новую запись zpk(.) - сокращая одинаковые элементы числителя и знаменателя в Zam_ck.

2.Исследование линейной импульсной системы автоматического управления

Задание:

1) Найти передаточные функции импульсной САУ: W^*(z) разомкнутой системы, Ф^*(z) - замкнутой системы, Ф_е^*(z) - системы по ошибке. Параметры Т, Т₁, ф₁, К₀, г входят в выражения передаточных функций в общем виде, т. е. в буквенном виде. Знак «*» будет относиться к передаточным функциям импульсной системы.

2) Найти интервал изменения коэффициента передачи К₀, при котором система будет устойчива: K₀^”?K₀?K. Для дальнейших исследований выбрать значение K₀=0.5K₀

3) Построить графики логарифмических частотных характеристик разомкнутой импульсной системы L^*(л) и ц^*(л) при заданных значениях Т, Т₁, ф₁, г и выбранном K₀. По графикам определить запасы устойчивости системы по модулю ?L^* и фазе ?ц^*.

4) Определить ошибку системы по скорости е_ск при входном воздействии v(t)=t (скачок по скорости), а также первые два коэффициента ошибок с₀ и с₁.

5) Вычислить переходной процесс в системе при воздействии v(t)=1[t] (скачок по положению.

Исходные данные:

Таблица 2. Анализ одноконтурного замкнутого импульса

Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, состоящая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью ф=гТ, где Т -период дискретизации, 0?г?1. Исходные данные для расчетов приведены в таблице 2. Передаточная функция непрерывной части имеет вид:

Импульсный элемент представляется в виде идеального ключа и формирующего устройства с передаточной функцией:

Структурная схема системы представлена на рис. 2.1. В табл. 2 Т, Т₁, ф -постоянные времени имеют размерность секунды, К₀ - коэффициент передачи НЧ имеет размерность сек^-1 и выбирается далее.

Рис 2.1 Структурная схема линейной импульсной системы

1. Для нахождения передаточной функции разомкнутой импульсной САУ W^*(z) находим передаточную функцию приведенной непрерывной части:

К W(s) применяется Z-преобразование и получается передаточная функция импульсной системы W^*(z) = Z{W (s)}. Преобразуем W₀(s) к виду:

Представим W₀(s) в виде суммы двух слагаемых

Применим к W₀(s) Z-преобразование

Полученную передаточную функцию в конечном виде можно представить следующим образом:

где обозначено

Передаточные функции замкнутой системы находятся по выражениям:

2. Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы D^*(z) = l + W^*(z) = 0, которое для нашего случая будет иметь вид:

В соответствии с алгебраическим критерием замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств

В неравенстве при известных значениях г, Т, ф₁, Т₁ входит величина К₀. Таким образом, можно выделить отрезок значений К₀"<К₀ <К₀, при которых система будет устойчива и далее принять К₀ = 0.5К₀. Условия устойчивости будут:

После преобразований и возврата к старым переменным получим:

Получим 0<К₀<7,112. Таким образом, принимаем К₀=0.5 К₀=3,56.

1. Для построения частотных и логарифмических частотных характеристик в выражении W^* (z) делаем замену переменной

В результате этого получим частотную характеристику W^*(jл) и далее логарифмическую амплитудно-частотную характеристику L^*(л) = 20Lg|W^*(jл)| и фазочастотную характеристику ц^*(л)= argW^*(jл), графики которых строятся в логарифмическом масштабе.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Тогда можно воспользоваться следующей последовательностью команд в MATLAB:

>> sys=tf([0.231 0.085],[1 -(1/2.71+1) 1/2.71],1)

Transfer function:

0.231 z + 0.085

---------------------

z^2 - 1.369 z + 0.369

>> sys_tr=d2c(sys,tustin)

Transfer function:

-0.05332 s^2 - 0.1242 s + 0.4616

--------------------------------

s^2 + 0.9218 s + 2.047e-016

(опция tustin предназначена для преобразования )

Получаем выражение:

где параметры g и f видны из вышеприведенного выражения.

Рис 2.2

4. Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию:

В силу астатизма первого порядка в такой системе статическая ошибка всегда равна нулю, а скоростная е_ск вычисляется по формуле:

и следовательно, е_ск=1,999.

Вычислим коэффициенты ошибок. Величина С₀ =0, а коэффициент ошибки

Где передаточная функция системы по ошибке.

Тогда получим производную:

Подставив в последнее выражение найденные ранее значения и z=1, окончательно получим С₁=1,999.

5. При входном воздействии вида v(k) = l[k] переходный процесс в замкнутой системе можно вычислить с помощью моделирования импульсной системы в Matlab. Для этого необходимо задать передаточную функцию непрерывной части системы в tf- или zpk -форме, преобразовать ее в дискретную с помощью оператора c2d при заданном времени дискретизации T, а затем построить переходной процесс системы оператором step. Так же можно построить и логарифмические частотные характеристики импульсной системы -bode. Если задана передаточная функция замкнутой системы в виде:

и периодом дискретизации гT, то получим

>> w0=tf([0.3 1 0],[0.3 1 1.411]) Transfer function:

0.1 s^2 + s

-------------------

0.1 s^2 + s + 3.738

0.2

>> w1=c2d(w0,0.24)

Transfer function:

z^2 - 0.8801 z - 0.1199

------------------------

z^2 - 0.4001 z + 0.09072

Sampling time: 0.24

>> step(W1)

Рис 2.3

На рис.2.4 представлена диаграмма Боде исследуемой дискретной системы с отмеченными на ней запасами устойчивости по амплитуде и фазе.

Рис. 2.4