1. Получение уравнения следящей системы

Электромеханическая система, анализ которой необходимо провести в техническом задании, изображена на рис.1.1 Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учеб. пособие / Е.П. Попов. - М.: «Наука», 1989. - С. 160. .

Рис.1.1 Кинематическая схема следящей системы

В этой системе введены обратные связи по углу поворота , угловой скорости вращения и тока в цепи якоря двигателя.

Будем считать, что все звенья системы являются линейными, за исключением генератора, т.к. его электродвижущая сила связана с током возбуждения нелинейной зависимостью (кривой намагниченности). Однако, при сравнительно небольших напряжениях якоря (примерно половина номинального напряжения), зависимость можно считать линейной, т.к. этот участок характеристики является линейным.

Таким образом, в данной системе отпадает необходимость в линеаризации системы, т.к. она уже линеаризована. Для составления уравнений системы разобьем ее на динамические звенья и найдем их передаточные функции.

Составим уравнение следящей системы, приведенной на рис.1.1.

1) Уравнение двигателя:

для электродвигателя постоянного тока уравнение электрической цепи, составленной по второму закону Кирхгофа:

(1.1)

имеет вид:

(1.2)

а уравнение механической цепи, составленной на основе второго закона Ньютона для моментов инерции:

, (1.3)

где момент сопротивления , , э. д. с. двигателя (через ) обозначены соответствующие коэффициенты.

Подставим значения для в уравнения (1.2), а (1.3). Получим:

(1.4)

(1.5)

Таким образом, получили систему:

Перейдем в изображения по Лапласу:

Преобразуем систему:

В первом уравнении системы перенесем в правую часть уравнения:

(1.6)

Выразим :

(1.7)

2. Уравнение обратной связи по угловой скорости:

(1.8)

. (1.9)

Пусть тогда, уравнение обратной связи по угловой скорости запишется в виде:

. (1.10)

3. Уравнение потенциометрической связи (по углу):

(1.11), (1.12)

Пусть

Тогда, уравнение потенциометрической связи имеет вид:

(1.13)

4. Уравнение обратной связи по току:

(1.14)

5. Уравнение усилителя мощности:

(1.15)

(1.16)

Тогда,

Перейдем в изображения по Лапласу, получим:

(1.17)

Структурная схема двигателя имеет вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

65

Рис.1.2 Структурная схема двигателя

Далее, необходимо получить передаточную функцию двигателя в изображениях по Лапласу. Для этого разобьем передаточную функцию на две подсистемы: электрическую и механическую.

следящая система устойчивость критерий

Размещено на http://www.allbest.ru/

65

Рис.1.3 Структурная схема двигателя с выделением электрической и механической подсистемы

В схеме на рис.1.3, - передаточная функция электрической подсистемы двигателя, - передаточная функция механической подсистемы двигателя в изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях.

Из системы (1.6) очевидно, что

(1.18)

(1.19)

Приведем передаточные функции (1.18) и (1.19) к стандартному виду:

Разделим и числитель и знаменатель дроби на , тогда получим:

(1.20)

Введем следующие обозначения:

(1.21)

(1.22)

где постоянная времени электрической подсистемы двигателя.

Тогда передаточная функция (1.20) примет типовой вид:

(1.23)

Рассмотрим передаточную функцию (1.19) и приведем ее к типовому виду:

Разделим числитель и знаменатель дроби на тогда получим:

(1.24)

Введем следующие обозначения:

(1.25)

(1.26)

где постоянная времени механической подсистемы двигателя. С учетом введенных обозначений передаточная функция примет вид:

(1.27)

С учетом проведенных преобразований структурная схема двигателя примет вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

65

Рис.1.4 Структурная схема двигателя

Используя правила преобразования структурных схем, перенесем местную обратную связь по току в конец структурной схемы:

Размещено на http://www.allbest.ru/

65

Рис.1.5 Структурная схема двигателя с интегратором для выделения

Используя правила преобразования структурных схем, сделаем обратную связь единичной.

Размещено на http://www.allbest.ru/

65

Рис.1.6. Структурная схема двигателя с единичной обратной связью

Найдем передаточную функцию (см. рис.1.6), используя следующую формулу:

(1.28)

Тогда, получим:

где

Раскроем скобки в знаменателе дроби, получим:

(1.29)

Приведем передаточную функцию к типовому виду, для этого разделим числитель, и знаменатель дроби на получим:

(1.30)

Тогда передаточная функция двигателя может быть получена путем домножения числителя выражения (1.31) на Тогда, получим:

(1.31)

Очевидно, что полученная передаточная функция (1.32) представлена в типовом виде колебательного звена, т. о, получили, что двигатель является типовым колебательным звеном, и записывается в виде:

(1.32)

Поэтому, можно записать, что

(1.33)

(1.34)