1. Аппроксимация ВАХ нелинейного элемента полиномом второй степени
.
Задание:
Номер варианта - 14
В таблице 1 задана ВАХ .
- нарисовать в удобном для построения масштабе форму ВАХ;
- определить коэффициенты её аппроксимирующей функции ,, потребовав совпадение в точках U1 , U2 , U3 (см. таблицу 2);
- сравнить аппроксимированную ВАХ с заданной в таблице 1, построив их на одном графике во всем диапазоне напряжений, взятых из таблице 1;
- методом проекций построить в масштабе временную диаграмму тока i(t) нелинейного элемента. Используя заданную в таблице 1 ВАХ при гармоническом воздействии
, где и ;
- сравнить форму колебаний u(t) и i(t);
- вычислить амплитуды спектральных составляющих тока I0, I1, I2 и построить спектральные диаграммы напряжения и тока в масштабе;
- оценить коэффициент нелинейных искажений тока.
Таблица 1
Номер варианта |
Вольт-амперные характеристики |
||||||||||||
14 |
U,В |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
|
I,mA |
0 |
0,6 |
1,4 |
2,0 |
4,0 |
9,0 |
20 |
34 |
50 |
73 |
100 |
Таблица 2
Напряж. №вар. |
U1 ,В |
U2 ,В |
U3,В |
|
14 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
Выполнение задания.
Нарисовать в удобном для построения масштабе форму ВАХ.
Используя данные таблицы 1 нарисуем ВАХ нелинейного элемента. График ВАХ изображен на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1- График ВАХ
Определить коэффициенты аппроксимирующей функции ВАХ ,, потребовав совпадение в точках U1, U2, U3 (см. таблицу 2);
В качестве узлов аппроксимации заданы точки U1=0.4 В; U2=0.6 В; U3=0,8 В; аппроксимация задана уравнением
(1.1),
используя график ВАХ изображенный на рисунке 1 найдем значения тока I в точках U1,U2,U3.
При U1=0.4В I1=4мА; при U2=0.6В I2=20 мА; при U3=0,8 В I3=50 мА. Для нахождения неизвестных коэффициентов уравнения (1.1) необходимо решить систему уравнений:
Расчет произведём методом Гаусса.
Откуда находим:
,
аппроксимирующая функция будет иметь следующий вид:
Сравнить аппроксимированную ВАХ с заданной в таблице 1, построив их на одном графике во всем диапазоне напряжений, взятых из таблице 1.
График заданной и аппроксимированной ВАХ изображен на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1- График ВАХ
Из графика видно, что аппроксимированная ВАХ практически полностью совпадает с заданной в окрестности рабочей точки U2=0.6 на интервале аппроксимации при U=0.3-1В.
- Методом проекций построить в масштабе временную диаграмму тока i(t) нелинейного элемента. Используя заданную в таблице 1 ВАХ при гармоническом воздействии:
, где и ;
сравнить форму колебаний u(t) и i(t).
U0=U2=0.6 B Um=0.2 B
u(t)=U0+Umcos2рf0t=0.6+0.2*cos2рf0t
Временная диаграмма тока изображена на рисунке 3.1;
Сравнивая формы колебаний u(t) и i(t) видно, что формы тока и напряжения различны, это является следствием того, что одинаковым приращениям напряжения отвечают неодинаковые приращения тока, поскольку дифференциальная крутизна вольт-амперной характеристики на различных участках также различна.
Вычислить амплитуды спектральных составляющих тока I0, I1, I2 и построить спектральные диаграммы напряжения и тока в масштабе. Оценить коэффициент нелинейных искажений тока.
В окрестности рабочей точки В, вольт-амперная характеристика нелинейного элемента представлена в виде:
(1.2);
Приложенное к нелинейному элементу напряжение:
(1.3).
Подставим выражение (1.3) в (1.2) и получим:
;
- отсюда вытекают следующие соотношения для расчета постоянной составляющей и амплитуд гармоник тока:
I0=23.5 мА;
I1=23 мА;
I2=3.5 мА;
Возьмем сопротивление нагрузки равное 1 Ом, тогда амплитуды гармоник напряжения равны:
U0=23.5 мВ;
U1=23 мВ;
U2=3.5 мВ;
Коэффициент нелинейных искажений вычисляется по формуле
в нашем случае
Построим спектральную диаграмму тока и напряжения в масштабе.
Составим таблицу значений:
Таблица 3
k |
f,Гц |
I,мА |
Uk,мВ |
|
0 |
0 |
23.5 |
23.5 |
|
1 |
f0 |
23 |
23 |
|
2 |
2•f0 |
3.5 |
3.5 |
Спектральная диаграмма тока изображена на рисунке 4.1;
Рисунок 4.1 - Спектральная диаграмма тока
Рисунок 5.1 - Спектральная диаграмма напряжения