3 Оптимизация системы по параметру kи с использованием критерия минимума среднего квадрата ошибки

Средний квадрат ошибки находится как сумма квадрата динамической ошибки и дисперсии шумовой ошибки:

Поскольку система обладает астатизмом второго порядка и входное воздействие квадратичное, для динамической ошибки имеем:

Дисперсия шумовой ошибки находится по формуле:

где F_ш - шумовая полоса замкнутой системы, которая находится по формуле:

где K_з(щ) - Модуль коэффициента передачи замкнутой системы.

Чтобы привести данный интеграл к табличному, возьмем комплексный коэффициент передачи замкнутой системы из формулы (2.2), заменив p на jщ:

K_з(jw)=K(jw).k_d/1+K(jw).k_d

Найдем квадрат модуля путем умножения комплексного коэффициента передачи на комплексно сопряженный:

В этом случае выражение можно представить отношением полиномов:

Где полиномы:

где коэффициенты полиномов равны:

Интеграл (3.4) сводится к табличному :

где I₂ равно:

Для n = 3 получаем:

(3.8)

Подставив, получаем формулу для вычисления шумовой полосы:

(3.9)

Дисперсия шумовой ошибки будет равна:

Средний квадрат результирующей ошибки:

Оптимальное значение шумовой полосы и минимально достижимую ошибку слежения находим из графика 3- зависимости ошибок слежения от полосы пропускания системы:

Рисунок 2 - Зависимость квадрата ошибки от

F_ш: 1 - ;

2 - ; 3 -

Оптимальное значение шумовой полосы F_ш = 0.341

Минимально достижимая ошибка слежения е_min = 0.041 (рис. 2)

K_uopt=0,903