3. Выбор сетки

При разностном методе решения уравнений область значений непрерывных независимых переменных заменяют конечным множеством точек, называемых узлами. Совокупность узлов, пронумерованных в определенном порядке, называют сеткой. Функции непрерывного аргумента ставится в соответствие функция в узлах сетки. Такую функцию считают сеточной.

Сетка характеризуется регулярностью (равномерной или неравномерной), частотой расположения узлов (различным шагом), ориентацией (прямоугольной, треугольной, шестиугольной и т.д.).

При выборе сетки учитывают требования точности и экономичности. Под оптимальной подразумевают сетку, обеспечивающую заданную точность решения при минимальном числе узлов. В общем виде проблема выбора оптимальной сетки в настоящее теоретически не решена. Выбор оптимальной сетки осуществляют для каждого конкретного случая.

Для анализа широкого круга задач полупроводниковой электроники при решении системы уравнений переноса используют в основном одномерное и двумерное приближения. При этом рассматривают процессы переноса носителей заряда и поля электрического потенциала в вертикальной плоскости, перпендикулярной рабочей поверхности интегральной схемы.

Поскольку при вертикальном сечении геометрии транзисторных полупроводниковых структур представляет собой, как правило, совокупность многоугольников со сторонами, параллельными некоторой выбранной системе координат, применяют прямоугольную сетку. Периферийные участки диффузионных областей имеют цилиндрические поверхности. Однако в большинстве случаев эти поверхности могут быть аппроксимированы прямоугольными поверхностями.

Структура полупроводникового прибора представляет собой совокупность областей с отличающимися геометрическими размерами вдоль осей координат и резкими перепадами концентрации легирующих примесей. Известно, что элементы БИС формируются в тонком (порядка нескольких микрометров) приповерхностном слое полупроводниковой пластины, толщина которой составляет 250-300 мкм. Кроме того, активные участки имеют размеры на порядок меньше размеров пассивных участков (омических контактов, изоляции и т.п.). Эти особенности приводят к тому, что концентрации подвижных носителей заряда и электрического потенциала, являющиеся искомыми функциями, в одних областях изменяются мало, а в других очень сильно. Эти обстоятельства при решении краевых задач для полупроводниковых приборов делают нерегулярные сетки более предпочтительными. В областях с большими градиентами переменные узлы в сетке необходимо располагать чаще. Конкретный вид сетки зависит от особенностей структуры полупроводникового прибора.

Рассмотрим структуру полевого транзистора и биполярного транзистора с точки зрения выбора оптимальной сетки. При учете влияния сопротивления подложки на параметры прибора можно пойти двумя путями. Первый состоит в учете части подложки, непосредственно примыкающей к активной области прибора, толщиной, равной нескольким толщинам активной области. При этом представляется возможным использовать равномерную сетку, по крайней мере, по оси, нормальной рабочей поверхности пластины.

Второй путь состоит в учете всей подложки. При этом приходится пользоваться неравномерной сеткой и по оси координат, нормальной рабочей поверхности. Такая сетка должна быть густой в активной части прибора, где имеют место большие градиенты концентраций носителей заряда и электрического потенциала и значительно реже в подложке.

Рассмотрим конечно-разностные аппроксимации основных дифференциальных операторов, входящих в математические модели полупроводниковых структур в диффузионно-дрейфовом и дрейфовом приближениях.

Двумерную область прибора покрывают прямоугольной сеткой (рис.3.1), а искомую функцию заменяют функцией, определенной в узлах этой сетки. Граница модельной области прибора может и не совпадать с линиями сетки.

Введем некоторые обозначения.

Узел сетки, образованный пересечением i-линии по оси ОХ и j-й линии по оси ОУ, отметим круглыми скобками (i,j). Функция в узле (i,j) имеет двойную нижнюю индексацию:j_ni,j. Совокупность значения функции во всех узлах характеризуем фигурными скобками {j_ni,j}. Верхний индекс сеточной функции означает номер итерации, на котором вычислена функция.

Рис.3.1. Двумерная сетка с переменным шагом

Основное предположение при выводе разностного состоит в том, что решение можно аппроксимировать кусочно-линейной функцией на отрезках между внутренним узлом и его соседними узлами. Таким образом, получаем (Nx-2)×(NY-2) разностных уравнений (где NX и NY - число сеточных линий по вертикали и горизонтали соответственно), что в точности соответствует числу внутренних узлов. На границе области решение задачи должно удовлетворять некоторым граничным условиям, из которых аналогичным способом можно вывести уравнения в узлах на границе; число граничных узлов равно 2(NX-NY-2). Полное число уравнений равно, следовательно, полному числу узлов, и единственное решение может быть найдено.

Совокупность узлов, которым соответствуют переменные, входящие в аппроксимирующее выражение, называют шаблоном.

Любая конечно-разностная аппроксимация дифференциального оператора характеризуется некоторым шаблоном. Шаблон позволяет наглядно представить, какие узлы сетки участвуют в образовании конечно-разностного аналога дифференциального оператора в данном узле. Шаблон разностного оператора, аппроксимирующего дифференциальный оператор Лапласа в точке (i,j) одномерной и двумерной сеток, показан на рис.3.2,а,б.

Рассмотрим узловые точки разностной сетки. Для одномерного приближения считаем, что в точках j+1, j, j-1 заданы функции f_j+1, f_j, f_j-1. Найдем конечно разностные аппроксимации первой производной по пространственной координате. Полагая первую производную равной среднему значению градиента функции между узлами j, j+1 и j, j-1 для шаблонов рис.3.2,а получим

Последнее слагаемое в этих выражениях отражает тот факт, что разность между точным значением производной и ее конечно-разностной аппроксимацией при бесконечном измельчении сетки () стремится к нулю как величина h².

Рис.3.2. Конечно-разностные шаблоны:

а - трехточечный шаблон, б - пятиточечный шаблон

Аналогично определим значение второй производной:

Для равномерной сетки конечно-разностная аппроксимация второй производной по пространственной координате имеет вид

Конечно-разностная аппроксимация оператора Лапласа в двумерном пространстве на пятиточечном шаблоне (рис.3.2,б) может быть получена как сумма конечно-разностных аппроксимаций вторых производных от функции по проcтранственным переменным x и y:

Конечно-разностная аппроксимация производных по времени аналогична аппроксимации по пространственным переменным, поскольку с точки зрения математики символ t в уравнениях в частных производных является просто иной независимой переменной. Непрерывную переменную t делят на дискретные интервалы и рассматривают значения функции в моменты времени, отличающиеся на Dt. Например, одномерная нестационарная задача может быть дискретизирована так, как показано на рис.3.3. Значение функции в каждом узле сетки связано со значением функции в одномерной области в некоторый момент времени. Первая производная от f по времени может быть аппроксимирована разностью вперед, разностью назад и средней разностью:

Рис.3.3. Пространственно-временная сетка

Вторая производная от f по времени аппроксимируется аналогично второй производной по пространственной координате:

Дискретизация временной переменной приводит к вычислительной неустойчивости, а именно: если шаг по времени не является достаточно малым по сравнению с шагами по пространственным переменным, то иногда в процессе вычислений может иметь место возрастание ошибки.

Для того чтобы затраты времени счета и памяти ЭВМ оставались в разумных пределах, необходимо ограничить число узлов сетки. Соответствующий компромисс между точностью и стоимостью вычислительных ресурсов можно найти, оценив ошибки аппроксимации. В критических областях, с большими ошибками дискретизации, шаг сетки должен быть мелким, в то время как в областях, где ошибки невелики, его можно увеличить. Из этих соображений очевидно, что равномерная сетка непригодна, поскольку в этом случае шаг сетки должен был бы подстраиваться под критические области, и число узлов стало бы очень большим.

Так как ошибки дискретизации зависят от распределения величин y, n, p, то приемлемый шаг нельзя оценить априори, без знания решения. Следовательно, сетка должна быть адаптивной: предварительно находится решение на начальной сетке, затем сетка подстраивается под это решение, и снова решаются основные уравнения. Перестройку сетки можно осуществить, при необходимости, повторно.