Численные методы решения краевых задач анализа интегральных структур в диффузионно-дрейфовом и дрефовом приближениях

1. Методы аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных

Расчет полупроводниковых структур даже в простейшем случае является сложной математической задачей, Попытка использования известных аналитических методов для решения краевых задач анализа двумерных полупроводниковых структур не приводит к желаемым результатам.

Чтобы применить какой-либо численный метод, прежде всего необходимо разбить область, в которой ищется решение, на конечное число мелких участков. Эти участки должны быть достаточно мелкими, чтобы все изменяющиеся величины в основных уравнениях можно было представить на отдельно взятом участке в виде произвольно выбранных, но, тем не менее, простых функций. Затем нужно дискретизировать уравнения. Следует отметить, что можно получить лишь точное решение разностной задачи, которое является только приближенным решением дифференциальных уравнений. Отклонение решения разностной задачи от решения реальной зависит от способа разбиения области и выбора аппроксимирующих функций.

По существу, есть два классических способа вывода алгебраических уравнений, аппроксимирующих дифференциальные уравнения и решаемых численно: метод конечных разностей и метод конечных элементов.

Основное различие между ними можно сформулировать следующим образом. При применении конечно-разностного метода все производные в дифференциальном уравнении заменяются конечными разностями между узлами внутри области, и сумма всех членов полученного разностного уравнения приравнивается нулю в каждом отдельном узле. При реализации метода конечных элементов в окончательной формулировке требуется, чтобы эта сумма, проинтегрированная по всей области, равнялась нулю. Алгебраически это достигается приравниванием нулю всех интегралов для каждого элемента, причем полагается, что решение в пределах элемента имеет вид некоторой простой функции.

Оба этих метода имеют свои преимущества и недостатки. Для разработки программ, основанных на методе конечных элементов, необходима более основательная математическая подготовка, чем при реализации метода конечных разностей.

Универсальным методом приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процессы переноса в полупроводниковых структурах, является метод конечных разностей. Он получил широкое распространение как основной метод решения дифференциальных уравнений в частных производных на ЭВМ.