4. Особенности построения конечно-разностных аналогов уравнений переноса
Если в дифференциальном уравнении, записанном для некоторой точки, заменить дифференциальные операторы соответствующими конечными разностями, то получается алгебраическое уравнение относительно нескольких неизвестных, которыми являются значения функции в узлах, вошедших в аппроксимацию производных исходного дифференциального уравнения в частных производных. Проделав такую операцию для каждого узла сетки и добавив конечно-разностные аппроксимации граничных условий, придем к системе алгебраических уравнений по числу узлов в сетке и с таким же числом неизвестных.
Ввиду большого числа неизвестных решение систем разностных уравнений представляет значительную трудность и осуществляется итерационными методами. Для большинства итерационных методов условием, достаточным для сходимости, является выполнение критерия диагонального преобладания матрицы коэффициентов системы разностных уравнений. Суть его в следующем.
Считают, что матрица системы линейных алгебраических уравнений обладает свойством диагонального преобладания, если сумма коэффициентов разностного уравнения при всех соседних узлах шаблона противоположна по знаку и меньше или равна по модулю коэффициенту при центральном узле для всех узлов сетки (i,j), причем знак неравенства соблюдается хотя бы для одного узла. Матрица системы уравнений переноса обладает свойством диагонального преобладания.
Кроме устойчивости конечно-разностная схема должна обладать свойством аппроксимации дифференциального уравнения.
По определению, разностная задача аппроксимирует исходную дифференциальную схему точного решения дифференциального уравнения если невязка1, возникающая в правой части, стремится к нулю при уменьшении расстояния между узлами сетки.
Под устойчивостью понимают внутреннее свойство разностной краевой задачи, отражающей чувствительность ее решения к возмущениям правой части. Если разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную и устойчива, то имеет место сходимость, т.е. при уменьшении расстояния между узлами сетки решение этой задачи приближается к точному решению исходной дифференциальной задачи. При выполнении этих условий процесс расчета по такой схеме сходится, т.е. при измельчении сетки получаемое решение приближается к точному решению дифференциального уравнения. Схема имеет порядок аппроксимации R, если невязка, возникающая в правой части при подстановке вместо сеточной функции точного решения уравнения, убывает со скоростью hR при уменьшении шага сетки h.
Важным свойством разностного уравнения, заменяющего дифференциальное, является свойство консервативности. Разностную схему называют консервативной, если при суммировании уравнений по всем точкам сеточной области остаются только алгебраические суммы значений неизвестных или функций от них вдоль границы области. Эти схемы соответствуют дифференциальным уравнениям дивергентного вида. Они кроме аппроксимации дифференциального уравнения в точке удовлетворяют еще и интегральному закону сохранения, вытекающему из дифференциального уравнения. Поэтому они более точны, чем обычные, неконсервативные.
Наибольшую сложность при численном анализе полупроводниковых приборов вызывает решение уравнений непрерывности.
В дальнейшем мы будем записывать разностные полупроводниковые уравнения в более абстрактном виде для упрощения формуд. Пусть уравнение Пуассона и уравнения непрерывности для электронов и дырок записаны для неизвестных y, jn, jp, представляющих собой векторы значений соответственно электростатического потенциала, электронного и дырочного квазиуровней Ферми в узлах:
F1=F1(y, jn, jp)=0,
F2=F2(y, jn, jp)=0,
F3=F3(y, jn, jp)=0.
Тогда F1, F2, F3 - образуют систему уравнений размерности 3×(NX×NY), равной утроенному числу узлов, которое обычно велико.
1 Невязка приближенного решения - одна из характеристик качества приближенного решения операторного уравнения P(u)=0. Невязкой называют величину если известна оценка |u1-u2|³C|P(u1)-P(u2)|, то погрешность решения можно оценить через невязку