Билинейное z – преобразование

Теория:

Стандартное и билинейное Z – преобразование

Также, как от дифференциальных уравнений можно перейти к разностным уравнениям, от передаточных функций аналоговых систем W(p) можно перейти к системным функциям W(z).

Этот переход можно сделать двумя способами:

• с помощью стандартного Z - преобразования,

• с помощью билинейного Z - преобразования.

При использовании стандартного Z - преобразования переход от W(p) к W(z) осуществляется заменой , т.е.

(1)

Обратный переход делается по правилу

. (2)

Указанные переходы следуют из прямого z = e^pT и обратного выражений, связывающих ДПЛ иZ - преобразования.

Переход от W(p) к W(z) с помощью стандартного Z - преобразования обеспечивает высокую точность, но в результате вместо дробно-рациональных функций получаются выражения с трансцендентыми функциями, что очень неудобно для выполнения различных математических операций над ними.

От указанного недостатка свободен переход от W(p) к W(z) и обратно с помощью билинейного Z - преобразования. Это преобразование приближенное, но при этом сохраняются дробно-рациональные функции в выражениях W(p) и W(z).

При билинейном Z - преобразовании используется разложение в степенной ряд функции

.

Ограничившись первым членом ряда, получим

. (3)

Обозначим , откуда.

Тогда (3) перепишем в виде

.

Т.к. z = e^pT , то ln z = pT. Приравняем правые части и получим приближенную линейную связь между p и z

(4)

Из (4) следует обратная связь между z и p

. (5)

Тогда переход от W(p) к W(z) с помощью билинейного Z- преобразования осуществляется по формуле

. (6)

Обратный переход от W(z) до W(p) осуществляется по формуле

. (7)

В результате переходов от W(p) к W(z) и обратно по (6) и (7) сохраняется дробно-рациональный вид функций, причем степень функций не изменяется.

Основные теоремы Z – преобразования

1. Линейность. Если y(n) = a₁x₁(n) + a₂x₂(n) +  ,

то Y(z) = a₁X₁(z) + a₂X₂(z) + 

2. Смещение во времени. Если y(n) = x(nm), то Y(z) = X(z)z^m.

3. Разность дискретных функций.

Если (n) = x(n) - x(n-1),

то .

Аналогия: если тоY(p) = pX(p), p(1-z^-1).

4.   Сумма дискретных функций. Если то

Аналогия: если то

5.   Свертка двух дискретных функций.

Если тоY(z)=X(z)H(z)

6.   Предельные соотношения:

Z – преобразование для корректирующего звена:

Произведём замену , гдеT_Д – время дискретизации

, где F_Д – частота дискретизации

Fд=2.2 F_в = 40,98726114649682

F_в =1.5Fп=18,63057324840764

Fп= Wп/2=12,4203821656051

Tд=0,0243978243978244

Получим

Произведём замену:

b0=Ккз*(1+2*T2/Tд)/ (1+2*T1/Tд)

b1= Ккз*(1-2*T2/Tд)/ (1+2*T1/Tд)

a1= (1-2 T1/ Tд)/ (1+2 T1/ Tд)

b0= 15,911

b1= - 15,8

a1= -0,994

В результате получим уравнение:

по определению

В результате имеем:

Этому выражению соответствует следующая схема цифрового звена первого порядка:

Z- преобразование для МОС:

Проделав аналогичные преобразования для получим:

, где

A1=0,005

A2=-0,99

Этому выражению соответствует следующая схема цифрового звена второго порядка:

Схема цифрового прототипа МОС