3.3. Синтез и реализация двумерных ких-фильтров

Синтез двумерных цифровых фильтров существенно отличается от синтеза одномерных. В одномерном случае задачи синтеза фильтра и его схемной реализации четко разделены. Сначала выполняется синтез фильтра, а затем с помощью соответствующих преобразований передаточной функции определяются коэффициенты, необходимые для построения конкретной схемной реализации. В двумерном случае ситуация совершенно иная из-за того, что многомерные полиномы в общем случае нельзя разложить на множители. Это значит, что нет возможности в общем случае менять форму произвольной передаточной функции для согласования ее с требованиями схемной реализации. Если мы в состоянии реализовать только передаточные функции, разложимые на множители, то и метод синтеза должен приводить только к фильтрам этого класса. Это обстоятельство усложняет задачу проектирования фильтров и сокращает число практически приемлемых реализаций.

Одно из важнейших преимуществ КИХ-фильтров перед БИХ-фильтрами заключается в возможности синтеза и практической реализации КИХ-фильтров с чисто вещественными частотными откликами. Такие фильтры называются фильтрами с нулевой фазой. В частотной области условие нулевой фазы можно выразить следующим образом:

(3.25)

Выполнив обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (3.25), для импульсного отклика фильтра с нулевой фазой получим требование симметрии в пространственной области

(3.26)

Очевидно, что КИХ-фильтр может удовлетворять этому условию, если центр его опорной области совпадает с началом координат.

Фильтры с нулевой фазой важны для многих приложений цифровой обработки многомерных сигналов. Например, при обработке изображений фильтры с ненулевой фазой могут привести к разрушению линий и границ. Линейный инвариантный к сдвигу фильтр с нетривиальным частотным откликом будет избирательно усиливать или ослаблять некоторые из этих синусоидальных компонент, а также задерживать некоторые компоненты по отношению к другим. На любой частоте величина задержки зависит от значения фазового отклика. Нелинейный фазовый отклик приводит, таким образом, к рассеянию строго согласованных синусоидальных компонент сигнала, составляющих контрастные точки, линии и границы.

Фильтр с нулевой фазой имеет и другие преимущества. В силу вещественности его частотного отклика упрощается синтез фильтра. К тому же симметрию импульсного отклика фильтра можно использовать при его реализации для уменьшения требуемого числа умножений.