3.1 Двумерные дискретные сигналы

Двумерный дискретный сигнал (последовательность или массив) – это функция, определенная на совокупности упорядоченных пар целых чисел [4,8]. Так,

. (3.1)

Отдельные элементы последовательности будем называть отсчетами. Тогда х (п₁,п₂) представляет собой отсчет последователь­ности х в точке (п₁,п₂). Значения отсчетов могут быть вещественными или комплексными. Если п₁ и п₂ считать переменными вели­чинами, выражение х (п₁,п₂) можно рассматривать как обозначе­ние всей последовательности. Графическое изображение двумерной последовательности пред­ставлено на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Графическое представление двумерной последовательности

В соответствии с приведенным выше определением двумерные последовательности имеют бесконечную протяженность, поскольку п₁ и п₂ могут принимать любые целочисленные значения. Од­нако на практике для большинства двумерных последовательно­стей значения отсчетов известны только в конечной области плоскости (п₁,п₂). Например, при сканировании черно-белой фотографии за ее краями отсчеты не берутся. Вместо того, чтобы ограничивать область определения такой двумерной последовательности, мы просто будем считать, что все значения отсчетов за пределами определенной области равны нулю.

Некоторые последовательности настолько важны, что удостоились специальных названий или символов. К ним принадле­жит двумерный единичный импульс (п₁,п₂), называемый также единичным отсчетом. Единичный импульс определяется следую­щим образом:

(3.2)

Если определить одномерный единичный импульс как

(3.3)

то двумерный единичный импульс можно записать в виде произ­ведения двух одномерных единичных импульсов:

(3.4)

На рис. 3.2 приведено графическое представление двумерного единичного импульса.

Двумерный линейный импульс – это последовательность, име­ющая постоянное значение в одном направлении и импульсная – в другом. Последовательности и

Рис. 3.2. Двумерная единичная импульсная функция (большим кружком обозначен отсчет со значением 1, маленькими кружками – отсчеты со значением 0).

Рис. 3.3. Примеры двумерных линейных импульсов.

, показанные на рис. 3.3, являются примерами линейных импуль­сов. Очевидно, что для М-мерного случая можно определить не только М-мерные единичные импульсы, но и M-мерные линейные импульсы, M-мерные плоскостные импульсы и т. д.Другой особой последовательностью является двумерная единичная ступенька u (п₁,п₂). Ступенька определяется следующим образом:

(3.5)

Экспоненциальные последовательности определяются следующим образом:

(3.6)

где a и b – комплексные числа. Если абсолютные значения a и b равны единице, их можно записать в виде

(3.7)

В этом случае экспоненциальная последовательность становится комплексной синусоидальной последовательностью:

(3.8)

Любую последовательность, которую можно представить в виде произведения одномерных последовательностей, называют разделимой. Среди встречающихся на практике сигналов лишь очень немногие оказываются разделимыми, любое двумерное множество с конечным числом ненулевых отсчетов можно записать в виде суммы конечного числа разделимых последовательностей:

(3.9)

где N — число ненулевых строк или столбцов. Простейшее представление такого рода можно получить, выразив х в виде суммы отдельных строк последовательности.

Другим важным классом дискретных сигналов являются двумерные последовательности конечной протяженности. Слова «конечная протяженность» означают, что эти сигналы равны нулю вне области конечной протяженности в (п₁,п₂)-плоскости. Эта область называется опорной областью сигнала. Одна из типичных последовательностей конечной протяженности, изображенная на рис. 2.4.4, отлична от нуля только внутри прямоугольника 0<n₁<N₁, 0<n₂<N₂ .

Хотя области прямоугольной и квадратной форм чаще других используются в качестве опорных областей последовательностей конечной протяженности, вполне можно представить себе опорную область и другой формы.

Следующим важным классом двумерных последовательностей являются периодические дискретные сигналы. Двумерную перио­дическую последовательность, как и ее одномерный аналог, можно рассматривать как сигнал, регулярно повторяющийся в пространстве. Однако, если учесть, что двумерный сигнал должен повторяться сразу в двух направлениях, формальное определение периодической двумерной последовательности оказывается сложнее определения периодической одномерной последовательности.

Рассмотрим двумерную последовательность (п₁,п₂), удовлетворяющую следующим условиям:

(3.10)

Рис. 3.4. Последовательность конечной протяженности с опорной областью прямоугольной формы

Рис. 3.5. Двумерная периодическая последовательность

Эта последовательность обладает двойной периодичностью. Ее значения повторяются, если переменная п₁ увеличивается на N₁ или если переменная п₂ увеличивается на N₂. На рис. 3.5 приведено изображение такой последовательности. Величины N₁ и N₂, представляющие минимальные положительные целые числа, для которых справедливы выражения, назовем горизонтальным и вертикальным интервалами периодичности последовательности х.

Из всех отсчетов только N₁хN₂ отсчетов последовательности х оказываются независимыми; остальные отсчеты определяются условиями периодичности. Будем называть периодом последовательности х любую связную область плоскости (п₁, п₂), содержащую точно N₁хN₂ отсчетов, если значения этих отсчетов независимы. Например, область, заштрихованную на рис. 3.6, также можно рассматривать как один период периодической последовательности.

Рис. 3.6. Двумерная периодическая последовательность

с периодом неправильной формы