3.3.3. Реализация ких-фильтров с использованием окон

Метод окон, используемый при синтезе двумерных КИХ-фильтров, принципиально отличается от своего одномерного аналога. Этот метод работает в пространственной области и направлен на аппроксимацию не идеального частотного, а идеального импульсного отклика. Пусть и – импульсный и частотный отклики идеального фильтра, а и - импульсный и частотный отклики синтезированного фильтра. Ненулевые отсчеты расположены в некоторой опорной области конечной протяженности R. При использовании метода окон коэффициенты определяются соотношением:

. (3.29)

Последовательность носит название функции окна. Ограничив опорной областью R, мы тем самым ограничим той же областью. Поскольку h образуется как произведение i и , частотный отклик связан с соотношением свертки в частотной области, а именно

.(3.30)

Для уменьшения погрешности наложения необходимо, чтобы размер опорной области обратного ДПФ в несколько раз превышал опорную область R.

Выбор функции окна обусловливается тремя требованиями:

• окно должно иметь опорную область R;

• функция должна аппроксимировать двумерную импульсную функцию, чтобы отклик хорошо аппроксимировал ;

• если требуется получить отклик с нулевой фазой, окно должно удовлетворять условию нулевой фазы.

Все эти требования не отличаются от требований к одномерным окнам, поэтому последние часто служат основой для выбора двумерных окон. Например, двумерное окно с квадратной или прямоугольной опорной областью формируется как прямое произведение двух одномерных окон (п. 1.3, таблица 1.1):

. (3.31)

В качестве примера рассмотрим синтез (11 х 11)-точечного КИХ-фильтра, аппроксимирующего идеальный частотный отклик:

.

(3.32)

Поскольку идеальный отклик чисто веществен, следует синтезировать фильтр с нулевой фазой. Это значит, что начало координат должно быть центром симметрии в области R.

Синтезируем фильтр с использованием окон, взяв в качестве прототипа одномерное окно Кайзера. Идеальный импульсный отклик можно найти, выполнив обратное преобразование Фурье функции :

. (3.33)

Выражение для окна будет иметь вид:

. (3.34)

Перемножив эти выражения, получим искомый фильтр. Частотный отклик фильтров изображен на рис. 3.8 (a, б).

Частотные отклики синтезированных фильтров отличаются от идеального отклика по двум признакам. Отклик не является плоским ни в полосе пропускания, ни в полосе запирания, а срез фильтра не абсолютно острый. Первый недостаток обусловлен наличием боковых лепестков в Фурье-спектре функции окна, второй - конечной шириной главного лепестка Фурье-спектра. Изменение параметра окна в выражении для окна Кайзера позволяет находить компромиссное решение для остроты среза и гладкости частотного отклика в полосах пропускания и запирания.