3.2. Формализация описания двумерных дискретных систем

Произвольная двумерная последовательность может быть выражена в виде суммы взвешенных и сдвинутых импульсов. Линейный двумерный цифровой фильтр отзывается на каждый импульс своим импульсным откликом, взвешенным соответствующим образом. Поэтому выходная последовательность может рассматриваться как суперпозиция взвешенных и сдвинутых импульсных откликов.

Рассмотрим двумерный линейный цифровой фильтр с импульсной характеристикой h (п₁, п₂) и входным сигналом, представляющим собой комплексную синусоиду вида

(3.11)

где ω₁ и ω₂ – вещественные числа, называемые горизонтальной и вертикальной пространственными частотами соответственно. Выходной сигнал можно получить с помощью свертки

(3.12)

Выходной сигнал представляет собой комплексную синусоиду с теми же частотами, что и у входного сигнала, но с измененными амплитудой и фазой за счет комплексного множителя . Множитель носит название частотного отклика (частотной характеристики) системы и описывается выражением:

(3.13)

Полученное выражение имеет название двумерного дискретного преобразования Фурье (ДДПФ).

Частотный отклик периодичен с периодом  по обеим (горизонтальной и вертикальной) частотным переменным

(3.14)

В качестве примера вычислим частотный отклик системы с импульсной характеристикой

(3.15)

Эта последовательность изображена на рис. 3.7, а. Частотный отклик имеет вид (рис. 3.7, б):

(3.16)

Рис. 3.7. Импульсная характеристика (а) и частотный отклик (б), рассмотренные в примере

Частотный отклик двумерной дискретной системы в общем случае представляет собой непрерывную двумерную периодическую функцию, которую можно выразить в виде линейной комбинации гармонически связанных комплексных синусоид. Коэффициентами разложения в двумерный ряд Фурье служат значения отсчетов импульсной характеристикой h(n₁,n₂). Поэтому импульсный отклик двумерной системы можно получить из частотного отклика:

(3.17)

Область интегрирования в формуле в точности совпадает с одним периодом функции . В приведенных выкладках использовался период, расположенный вокруг начала координат, но аналогично можно использовать любой другой период.

Воспользуемся полученным результатом для нахождения импульсного отклика идеального фильтра нижних частот, определяемого частотным откликом:

(3.18)

Рассматриваемая система разделима, ее импульсный отклик имеет следующий вид:

(3.19)

Для входной последовательности следующего вида

(3.20)

комплексная функция X, известная как ДДПФ от функции x, определяется следующим образом:

(3.21)

В соответствии с теоремой о свертке получим:

(3.22)

Преобразование Фурье свертки двух двумерных последовательностей равно произведению их преобразований Фурье.

Примем для определенности, что дискретизация выполнена по прямоугольному растру объемом N₁хN₂ отсчетов и пусть

,

, (3.23)

.

Тогда,

(3.24)