2.4. Синтез коэффициентов бих-фильтров

Популярный метод проектирования БИХ-фильтра сводится к тому, что сначала проектируется эквивалентный аналоговый фильтр, а затем функция передачи H(s) преобразуется математически в z- область, H(z) (рис. 2.6) с использованием комплексных отображений.

Рис. 2.6. Проектирование БИХ-фильтров

Эта технология называется Filter Transformation (преобразование фильтров). Однако этот метод позволяет создавать лишь ФНЧ. Для получения ФВЧ, ПФ и фильтров-пробок применяется Spectral Transformation (спектральное преобразование) [13].

Существует два подхода к процедуре получения цифрового фильтра из аналогового ФНЧ. В первом случае аналоговое спектральное преобразование применяется к аналоговому ФНЧ для получения частотно-избирательного фильтра. Затем применяется преобразование фильтров для получения требуемого цифрового фильтра.

Во втором случае, сначала получается цифровой ФНЧ из соответствующего аналогового фильтра через преобразование фильтров. Затем требуемый частотно-избирательный цифровой фильтр получается путем спектрального преобразования цифрового ФНЧ.

Рассмотрим каждый из этапов подробнее.

1.Используя заданные цифровые спецификации, получить соответствующие характеристики аналогового ФНЧ.

Цифровые фильтры задаются следующими характеристиками:

• тип фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, ФП);

• частоты среза полос пропускания , Гц;

• частоты среза полос затухания , Гц;

• максимальное затухание в полосе пропускания (величина пульсаций) , дБ;

• минимальное затухание в полосе затухания , дБ;

• частота дискретизации , Гц;

• прототип фильтра.

Аналоговые ФНЧ задаются следующими характеристиками:

• тип фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, ФП);

• частота среза полосы пропускания , ;

• частота среза полосы затухания , ;

• максимальное затухание в полосе пропускания , дБ;

• минимальное затухание в полосе затухания , дБ;

• прототип фильтра.

Цифровые спецификации связываются с аналоговыми следующими выражениями:

; , (2.19)

где , – нормированные циклические частоты среза полос пропускания и подавления в цифровой области;

2. Применить спектральное преобразование для получения аналогового ФНЧ из заданного аналогового фильтра.

Спектральное преобразование при переходе от ФНЧ к ФВЧ и обратно имеет вид (рис. 2.7):

,

где – частота среза ФВЧ.

Спектральное преобразование при переходе от ФНЧ к ПФ имеет вид (рис. 2.8):

Рис. 2.7. Геометрическая иллюстрация спектрального преобразования при переходе от ФНЧ к ФВЧ.

Рис. 2.8. Геометрическая иллюстрация спектрального преобразования при переходе от ФНЧ к ПФ.

где – нижняя и верхняя частоты среза полосы пропускания ПФ,

– ширина полосы пропускания ПФ,

– квадрат среднего геометрического частот среза полосы пропускания ПФ.

Спектральное преобразование при переходе от ФНЧ к ФП имеет вид:

.

где – нижняя и верхняя частоты среза полосы подавления ФП,

– ширина полосы подавления ПФ,

– квадрат среднего геометрического частот среза полосы подавления ФП.

3.Спроектировать аналоговый ФНЧ.

Для фильтра Баттерворта порядок фильтра определяется по формуле:

,

где

, ,

или .

По исходным данным , , и необходимо определить три параметра, определяющих фильтр Чебышева 1-го рода: порядок и частоту запирания , при которой обеспечивается затухание 3dB, и коэффициент пульсаций :

,

где ; ;

; .

4.Применить преобразование фильтров для получения цифрового ФНЧ: по известной импульсной характеристике и билинейная трансформация.

Импульсное инвариантное отображение использует импульсную характеристику аналогового фильтра для определения импульсной характеристики цифрового фильтра как дискретной версии характеристики непрерывного времени. В результате частотная характеристика цифрового фильтра – это зашумленная в результате дискретизации частотная характеристика аналогового фильтра.

Процедура синтеза имеет следующую последовательность:

1. Задаться логарифмической АЧХ (ЛАЧХ), учитывая, что это звено не выше второго порядка.

2. Записать передаточную функцию системы.

3. Вычислить импульсную характеристику с использованием обратного преобразования Лапласа.

4. Задаться периодом дискретизации.

5. Провести дискретизацию импульсной характеристики , перейти к .

6. Взять -преобразование от :

7. Поскольку бесконечна во времени, то ряд тоже бесконечный и сумма в п.6 тоже бесконечна.

8. Записать сумму членов получившегося ряда в виде дробно-рациональной функции:

.

Поскольку последний шаг довольно сложен, этот метод используется не всегда. Для звеньев с порядком не выше второго, соответствующие суммы рядов приведены в литературе [Бесекерский].

Рассмотрим в качестве примера синтез БИХ-фильтра, реализующего инерционное звено, передаточная функция которого имеет вид:

.

Импульсный отклик системы равен:

.

После выполнения дискретизации с периодом дискретизации, равным , получим:

.

Применим -преобразование к функции дискретного времени :

.

Полученное выражение является убывающей геометрической прогрессией, поэтому

.

Билинейная трансформация – это отображение один к одному, которое исключает проблему помех от дискретизации путем перевода аналоговой частотной характеристики в передаточную функцию цифровой системы с соответствующим частотным откликом, это переход от производных в дифференциальных уравнениях к конечным разностям.

Билинейная трансформация определяется отображением на :

, (2.20)

где Т – это период дискретизации. Обратное преобразование:

. (2.21)

Для того чтобы выразить частотную характеристику, введем обозначение и в равенстве (2.21). Тогда

. (2.22)

Выразив как функцию от , получим

. (2.23)

Приведенное выражение дает эффект нелинейного сжатия между аналоговой частотой и цифровой частотой . Оно называется трансформацией аналоговых частот, которое также означает отсутствие помех от дискретизации. Вся мнимая ось на -плоскости отображается в окружность на -плоскости. Левая полуплоскость плоскости s отображается в круг единичного радиуса на плоскости z, а правая – в часть плоскости вне круга единичного радиуса на плоскости z. Обратная трансформация цифровых частот в аналоговые задается выражением, аналогичным приведенному ранее выражению (2.19):

. (2.24)

5.Применить спектральное преобразование для получения требуемого цифрового фильтра из ФНЧ. Результатом этого шага является передаточная функция в прямой форме. Это преобразование с комплексной переменной z очень похожи на билинейную трансформацию и соответствующие проектировочные выражения являются алгебраическими.

Пусть H_ФНЧ(Z) – это созданный цифровой ФНЧ и H(z) – требуемый цифровой фильтр. Стоит отметить, что используется две переменных для обозначения частоты, Z и z, с функциями H_ФНЧ и H, соответственно. Преобразование вида

преобразует

,

если это действующее преобразование с соответствующими параметрами. Общий вид функции для любого типа фильтра:

,

где а_к<1 - условие устойчивости. Путем выбора подходящего n и соответствующих значений а_к, можно получить множество спектральных преобразований. Наиболее широко используемые преобразования приведены в таблице 2.2.

6.Если требуется, получить каскадную форму БИХ-фильтра. Преобразуя в произведение секций второго порядка, получим коэффициенты многочленов второго порядка.

Таблица 2.2. Спектральные преобразования цифровых фильтров