Нелинейные робастные системы. Рассмотрим следующую нелинейную систему

_(3.1)

где , , имеют тот же смысл, что и в (2.1). Цели робастного управления нелинейным объектом (3.1) те же, что и линейного объекта (2.1). Пусть [9]

, (3.2)

где − нелинейность низкого порядка, т.е.

, − малая величина;

− нелинейность высшего порядка, т.е.

при .

Учитывая свойства рассматриваемых нелинейностей, перейдем от (3.2) к

. (3.3)

Предположим также, что

(3.4)

Следует отметить, что представление нелинейности в виде (3.3) может оказаться неоднозначным [3]. Пусть количество возможных представлений этой нелинейности в виде (3.3), которые при заданных начальных условиях не обращаются в бесконечность, есть . Тогда нелинейная система (3.1) может быть преобразована в систем, эквивалентных исходной, но не эквивалентных относительно друг друга, с параметрами, зависящими от состояния SDC

_(3.5)

Синтез структуры управления произведем на -модели системы с использованием функционала типа (2.9). Неравенство (2.6) запишется как

(3.6)

Управления определяются выражениями

(3.7)

Основная система с управлениями вида (3.7) и ее -модель будут иметь вид

.

Учитывая, что исходная система (3.1) и ее -модель описываются одними и теми же уравнениями с одинаковыми начальными условиями, то под воздействием управлений (3.7) в силу эквивалентности преобразования нелинейной функции будут иметь одинаковые переходные процессы, т.е.

. (3.8).

Отметим, что неоднозначное представление нелинейной функции в виде (3.3) приводит к тому, что и управления вида (3.7) будут отличаться для различных моделей. Таким образом, в общем случае траектории и не будут совпадать, т.е. если , так как

и, таким образом,

Как видно, найти положительно определенную матрицу , удовлетворяющую неравенству (3.6), не так легко. Но даже отыскание матрицы не гарантирует существования стабилизирующего управления, так как не известна область , содержащая одновременно начальную пару и цель управления, «заполненную» траекториями, произведенными управлениями вида (3.7).

Сформулируем задачу робастного управления нелинейным неопределенным объектом. Пусть управляемый объект описывается соотношениями (3.3), где матрицы , , , , определены, так как это сделано в разд. 2. Необходимо построить управление, асимптотически переводящее систему за требуемое время из заданного начального состояния в некоторую окрестность начала координат .

Предположим, что удастся построить такое управление. Допустим также, учитывая неоднозначность представления нелинейной системы (3.1) в виде системы, параметры которой зависят от состояния (3.5), что класс рассматриваемых систем таков, что их параметры в процессе управления изменяются в соответствующих интервалах

Здесь . Учитывая (2.6), построим -ю робастную модель системы

_(3.9)

Организуем управления вида (3.7). Для того, чтобы матрица содержала информацию о начальном состоянии объекта, цели управления и заданном периоде управления, назначим весовые матрицы функционала (2.9) следующим образом:

, , , (3.10)

при этом выбор весового коэффициента должен быть таким, чтобы матрица

была бы отрицательно полуопределенной (определенной).

Положительно определенная матрица будет решением алгебраического уравнения ARE

(3.11)

Назначение матрицы в виде обеспечивает постоянство параметров робастного регулятора при терминальной постановке задачи. При таком определении матрицы усиления робастного регулятора будет выполняться следующее соотношение

(3.12)

Другими словами, норма решения уравнения

является мажорантой для нормы решения уравнения

при .

Условие (3.12) будет справедливым для всех моделей систем, т.е. для всех . Полученные результаты позволяют сформулировать следующие теоремы.

Т е о р е м а 1. Пусть дифференциальное уравнение

допускает представление в виде линейного дифференциального уравнения с параметрами, зависящими от состояния,

Тогда управление , где положительно определенная матрица отвечает неравенству Риккати

является стабилизирующим, т.е. при .

Т е о р е м а 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и параметры линейной модели объекта имеют интервальный характер. Тогда управление , где положительно определенная матрица есть решение алгебраического уравнения Риккати

является для исходной системы робастно стабилизирующим, т.е. при .

П р и м е р. Рассмотрим пример из [10] (координатное управление спутником), существенно усложнив его за счет введения параметрических возмущений. Исследуемый нелинейный объект описывается следующим дифференциальным уравнением

_{Параметры объекта имеют следующие номинальные значения}

Сформируем робастную модель объекта

Здесь

Вектор содержит возмущения состояния объекта, вызванные отклонениями параметров от номинальных значений. Примем . Такой уровень возмущений по отношению к начальным условиям составляет порядка 20% по каждой координате. Введем функционал качества

С учетом материала разд. 2.1 оптимальное управление для исходного объекта, синтезированное на робастной модели объекта, и возмущения будут определяться следующими соотношениями

,

где , , ,

.

Матрица , являясь решением МRE при заданных начальных условиях объекта, имеет вид

.

Управления определяются соотношением

.

Как видно из графиков (рис. 1,2), исходный объект под воздействием синтезированного управления стабилизируется и при этом влияние возмущений, действующих на объект, подавляется достаточно успешно (амплитуды возмущений на выходе меньше амплитуд на входе приблизительно в 50 раз).

Заключение. Рассмотрены задачи синтеза робастных управлений для нелинейных неопределенных объектов. Дифференциальное уравнение, описывающее нелинейный объект, преобразуется в дифференциальное уравнение с параметрами, зависящими от состояния объекта. Это уравнение используется для построения робастной линейной модели с постоянными параметрами, что позволяет при синтезе управляющих воздействий перейти от нелинейного неравенства ARI к матричному уравнению MRE. Норма решения уравнения, описывающего модель объекта, является мажорантой для всех возможных решений уравнения, задающего исходную нелинейную систему.

Предложен способ назначения матриц весов квадратичного функционала, обеспечивающих независимость выполнения задачи стабилизации при любых заранее известных максимально возможных начальных условиях нелинейного объекта с параметрами, зависящими от состояния. Задача конструирования робастного регулятора сведена к стандартной постановке дифференциальной игры с квадратичным функционалом. Используемый подход можно отнести к минимаксным методам (концепции гарантированного управления). Приведен пример поведения объекта с параметрами, которые зависят от состояния, находящегося под воздействием управления, синтезированного с использованием его робастной модели.

14