Линейные робастные системы. Введем следующую линейную систему

_(2.1)

где − неизвестное возмущение, − управляемый выход системы, − управление, подлежащее нахождению. Предположим, что параметры системы имеют интервальный характер неопределенности

(2.2)

Синтез управления для объекта (2.1) может быть приведен в постановке задачи дифференциальной игры с заданной ценой , если возмущение интерпретировать как антагонистическое управление. Тогда функционал качества можно представить в виде

, (2.3)

где интервал управления задан. Вопрос о выборе параметров положительно полуопределенных (определенных) матриц и положительно определенных матриц будет обсуждаться ниже.

Положим, что , что упростит формулировку результата, но не изменит общности постановки задачи. Известно [7], что оптимальные управления и определяются соотношениями

(2.4)

где положительно определенная матрица является решением дифференциального уравнения Риккати (DRE)

(2.5)

Отметим, что матрицы и должны задаваться так, чтобы матрица

была бы, по крайней мере, положительно полуопределенной. Понятно, что реализовать полученное решение не удастся, так как отсутствует информация о значениях параметров объекта (2.1) в каждый момент интервала управления.

Если время окончания переходного процесса не фиксировано (например, ), а первое слагаемое функционала отсутствует, то алгебраическое неравенство АRI для рассматриваемой задачи имеет вид

(2.6)

Учитывая интервальный характер параметрической неопределенности, следует, что наибольшие сложности, связанные с выполнением неравенства (2.6), будут при следующих значениях параметров объекта:

. (2.7)

Задача синтеза управления вида (2.4) может быть сформулирована как проблема конструирования оптимального управления для робастной модели объекта (2.1) при антагонистическом воздействии

_(2.8)

с использованием функционала качества

. (2.9)

Напомним, что матрицы и должны задаваться так, чтобы матрица была бы, по крайней мере, положительно полуопределенной. В теории робастных систем при использовании -нормы для отыскания управления, организованного по принципу обратной связи, вместо обратимой положительно определенной матрицы обычно вводится скалярный показатель , а .

Учитывая интервальный характер параметрической неопределенности объекта (2.1) и условие выбора параметров робастной модели (2.8), определим структуру регулятора и действующего возмущения в виде

(2.10)

где положительно определенная матрица , содержащая постоянные параметры, − решение алгебраического уравнения MRE

, (2.11)

которое является и решением дифференциального уравнения DRE, если .

Структура управления для объекта (2.1) будет такая же, как (2.4), однако матрица заменяется на положительно определенную матрицу

. (2.12)

С учетом условия выбора параметров робастной модели объекта и , можно утверждать, что

(2.13)

Оценим максимально возможное рассогласование траекторий объекта (2.1) и его робастной модели (2.8). Пусть и , где

.

Тогда

, (2.14)

где и

.

Запишем решение уравнения (2.14) в виде

.

Учитывая, что корни характеристической матрицы являются действительными и отрицательными, можно назначить такие положительные постоянные и , что [8]. Тогда

. (2.15)

Как было показано, управления (2.12) обеспечивают системе свойства асимптотической устойчивости, т.е. при . Принимая во внимание, что параметрические возмущения принадлежат ограниченной области возможных значений, справедливо считать, что при . Тогда из (2.15) будем иметь оценку максимально возможного рассогласования траекторий объекта (2.1) и его робастной модели

. (2.16)