Учебник_фильтрация

3.4. Синтез и реализация двумерных бих-фильтров

Входной и выходной сигналы двумерного БИХ-фильтра удовлетворяют линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами, которое дает возможность вычислить значение выходного отсчета по значениям входных отсчетов и ранее вычисленных выходных отсчетов.Характеристика двумерных БИХ-фильтров совпадает с характеристикой одномерных БИХ-фильтров.

Способы реализации одномерных БИХ-фильтров представлены в п. 2.1. Классические способы реализации двумерных БИХ-фильтров являются развитием этих одномерных способов, однако для них характерны некоторые особенности, отсутствующие в одномерном случае. Например, в одномерных разностных уравнениях порядок вычисления обычно определен однозначно. В двумерном же случае имеется свобода при решении вопроса о том, в каком порядке будут выполняться вычисления значений очередных отсчетов.

БИХ-фильтр можно реализовать в прямой форме, если преобразовать разностное уравнение таким образом, чтобы значение выходного отсчета выражалось через значения входных отсчетов, а также уже найденных выходных отсчетов. Для фильтра входной сигнал связан с выходным сигналом следующим соотношением:

(3.38)

Поскольку отклик фильтра на импульс по определению равен импульсному отклику , то можно получить следующее соотношение

(3.39)

Выполнив двумерные z-преобразования выражений, стоящих слева и справа от знака равенства, решим это уравнение относительно .

(3.40)

Можно считать, что полученное отношение описывает каскад из двух фильтров, КИХ-фильтра с передаточной функцией и чисто рекурсивного фильтра с передаточной функцией, равной , как это показано на рис. 3.9.

Двумерные БИХ-фильтры можно конструировать с помощью последовательного и параллельного соединений более простых двумерных БИХ-фильтров. Рассмотрим, например, фильтр, представленный на рис. 3.10, в виде каскада из N двумерных БИХ-фильтров. Если принять, что передаточная функция 1-го фильтра в каскаде имеет вид:

(3.41)

то результирующая передаточная функция определяется следующим произведением:

(3.42)

Рис. 3.9. Представление сигнала с передаточной функцией

Рис. 3.10. Каскад из N простых двумерных БИХ-фильтров

На рис. 3.11 изображен полосовой фильтр, для построения которого ФНЧ с круговой симметрией соединен последовательно с ФВЧ. Полосы пропускания этих фильтров обозначены на рисунке наклонной штриховкой, а области их пересечения представляют собой полосу пропускания результирующего полосового фильтра.

Сложный двумерный БИХ-фильтр можно также построить с помощью параллельного соединения фильтров, как это показано на рис. 3.12. В этом случае результирующая передаточная функция имеет вид:

(3.43)

Параллельная архитектура также может оказаться полезной при реализации двумерных БИХ-фильтров, у которых импульсный отклик не ограничивается одним квадрантом, например, симметричных фильтров. В этом случае импульсный отклик с опорной областью на всей плоскости можно разбить на четыре отдельных импульсных отклика, по одному на каждый квадрант. Затем можно построить фильтры, соответствующие отдельным квадрантам, и, соединив все четыре фильтра параллельно, получить требуемый 4-квадрантный импульсный отклик.

Рассмотрим методы синтеза по критериям ошибки, заданным в частотной области. В силу теоремы Парсеваля среднеквадратичная ошибка одинакова в обеих областях

(3.44)

Рис. 3.11. Полосовой фильтр

Методы синтеза в частотной области популярны по ряду причин. Во-первых, аппроксимирующую функцию легко записать в виде функции от параметров фильтра, позволяющей легко вычислять любые частные производные. Во-вторых, часто бывает, что заданными оказываются не все характеристики требуемого отклика. Например, может интересовать только получение необходимой амплитуды отклика, а его фазовые характеристики могут не иметь значения. Такому частичному описанию гораздо проще реализовать частотным методом, чем пространственным.

Часто (особенно при обработке изображений) требуется фильтрация сигнала фильтром с симметричным импульсным откликом.

Рис. 3.12 Параллельное соединение N простых двумерных БИХ-фильтров, дающее более сложный двумерный БИХ-фильтр

Такие фильтры обладают частотным откликом с вещественными значениями, или с нулевой фазой. Ранее БИХ-фильтры с нулевой фазой реализовывались обычно двумя способами – последовательным (каскадным) или параллельным.

При каскадном способе организации фильтр с импульсным откликом h( ) включается последовательно с фильтром, имеющим импульсный отклик h(- ). Результирующий импульсный отклик такого каскада имеет вид , а результирующий частотный отклик – вид вещественной неотрицательной функции

(3.45)

Как показывает это выражение, частотный отклик каскада ограничен классом неотрицательных функций . Кроме того, в этом случае возникают некоторые вычислительные трудности из-за переходных процессов. Выходные отсчеты второго фильтра каскада вычисляются рекурсивно, причем рекурсия выполняется в направлении, противоположном направлению для первого фильтра. Если h (п₁, п₂) – отклик БИХ-фильтра, то его выходной сигнал имеет бесконечную протяженность, и теоретически перед тем, как начать фильтрацию h (–п₁, –п₂), следует вычислить бесконечное число значений выходных отсчетов первого фильтра, даже если в конце требуется получить сигнал в ограниченной области. Усечение вычислений в первом фильтре может привести к появлению ошибки. На практике следует вычислять выходной сигнал первого фильтра по достаточно протяженной области, чтобы переходные процессы на выходе второго фильтра за счет начальных отсчетов в достаточной степени затухли в интересующей нас области выходного сигнала.

Содержание