2.3. Прототипы бих-фильтров

Критериями при проектировании фильтров являются [12]:

1.Плоскость характеристики в полосе пропускания.

2.Крутизна перехода от полосы пропускания к полосе подавления.

3.Окончательный наклон характеристики в полосе подавления.

4.Фазовые искажения.

5.Временные характеристики: время нарастания, перерегулирование и время установления.

Выбор прототипа определяется требованиями, предъявляемыми к фильтру в соответствии с этими критериями. В таблице 3.1 приведена сравнительная характеристика прототипов.

Фильтр Баттерворта, не имеющий нулей частотной характеристики, (также называемый фильтром с максимально плоской характеристикой), не создает пульсаций (неравномерности) АЧХ в полосе пропускания и в полосе подавления, т.е. обладает монотонной АЧХ в обеих полосах. Квадрат АЧХ для аналогового ФНЧ -го порядка, построенного с использованием прототипа Баттерворта, описывается выражением:

(2.14)

где – это частота среза, на которой затухание равно 3dB.

Фильтр Чебышева 1-го рода имеет более быстрый спад АЧХ, чем фильтр Баттерворта (при равном порядке), и создает пульсации (неравномерность) АЧХ в полосе пропускания. Квадрат АЧХ фильтра Чебышева 1 рода -го порядка имеет следующий вид:

(2.15)

Таблица 2.1 Сравнительная характеристика прототипов.

где – коэффициент пульсации в полосе пропускания, определяющий неравномерность характеристики в полосе пропускания;

- полином Чебышева 1-го рода степени N:

,

– функция гиперболический косинус,

– обратная гиперболическая функция ареа-косинус.

Таким образом, при =0:

.

В конце полосы пропускания для всех значений N:

.

Реже используются фильтры Чебышева 2-го рода (Инверсные фильтры Чебышева), имеющие пульсации (неравномерность) АЧХ в полосе подавления, а не в полосе пропускания:

. (2.16)

Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра) имеет полюса и нули АЧХ и создает пульсации (неравномерность) АЧХ и в полосе пропускания, и в полосе подавления. Этот фильтр имеет более быстрый спад АЧХ, чем фильтр Чебышева при том же числе полюсов (порядке). Эллиптический фильтр часто используется там, где допускается несколько худшая ФЧХ. АЧХ в полосе пропускания. Квадрат АЧХ фильтра Чебышева 1 рода -го порядка имеет следующий вид:

(2.17)

где – рациональная эллиптическая функция N-го порядка;

ξ – коэффициент пульсации в полосе подавления, определяющий неравномерность характеристики в полосе подавления.

Эллиптическая функция – периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости. Эллиптические функции можно рассматривать как аналоги тригонометрических (имеющих только один период).

Наконец, фильтр Бесселя (Томпсона), который не имеет нулей частотной характеристики, обладает оптимальной линейной ФЧХ , но имеет худший спад АЧХ из всех рассмотренных типов фильтров при том же числе полюсов (порядке).

, (2.18)

.

В этом случае передаточная функция может быть представлена результатом разложения соответствующей экспоненциальной функции в ряд Тейлора с заданным числом членов ряда:

.

При использовании прототипа Чебышева 1 рода количество экстремумов АЧХ у ФНЧ и ФВЧ в полосе пропускания равно порядку фильтра N. При использовании прототипа Чебышева 2 рода количество экстремумов АЧХ у ФНЧ и ФВЧ в полосе подавления равно порядку фильтра N. При использовании прототипа Чебышева 1-го рода для полосовых фильтров количество экстремумов АЧХ в полосе пропускания равно 2N-1, а для фильтров-пробок – 2N. При использовании прототипа Чебышева 2-го рода количество экстремумов АЧХ в полосе подавления для фильтров-пробок равно 2N-1, а для полосовых фильтров – 2N.

При одном и том же прототипе (Чебышев 1-го и 2-го рода, эллиптический) и порядке фильтра при увеличении амплитуды пульсаций ширина полосы перехода сужается.

Для исправления нелинейности ФЧХ используется всепропускающие фильтры, у которых АЧХ постоянна, а ФЧХ задают нелинейностные формы, которые позволяют проектировать произвольную форму ФЧХ.

Все вышеперечисленные типы аналоговых фильтров описаны в литературе, их преобразования по Лапласу H(s) доступны либо из таблиц, либо могут быть получены с помощью средств САПР.