3. Елементарні ланки та їх характеристики

Передаточна функція лінійної неперервної стаціонарної САК може бути представлена у вигляді багаточленів відносно змінної Лапласа р

(3.1)

Підсилювальна ланка - передаточна функція якої: К (р) =К, К - коефіцієнт підсилення. Ланка є без інерційною. КЧХ підсилювальної ланки позначається від jw

(3.2)

Амплітудно-частотна характеристика:

АЧХ: рис.3.1

ФЧХ:

Рис.3.1 - графік АЧХ

Інтегруючою називається ланка яка має передаточне функцію вигляду К (р) = К/р. Ця ланка має один параметр К - коефіцієнт підсилення.

К (D) = К/ D (3.3)

Рівняння вхід - вихід системи: , тому що одиниця вимірювання зворотньо пропорційна часу, його часто називають коефіцієнтом підсилення за швидкістю. Дана ланка є інерційною.

(3.4)

Рис.3.2 - графік логарифмічної характеристики

Рис.3.3 - графік імпульсної характеристики

Рис.3.4 - графік перехідної характеристики

Рис.3.5 - графік фазочастотної характеристики

Інерційна ланка - називається ланка, в якій при подачі на вхід одиничного ступінчастого впливу вихідний сигнал аперіодично за експоненціальним законом прагне до нового усталеного значення. Характерним для аперіодичної ланки будь-якої фізичної природи є її інерційність.

(3.5)

Рис.3.6 - графік імпульсної характеристики

Рис.3.7 - графік перехідної характеристики

Якісною характеристикою перехідної функції інерційної ланки є час становлення, коли значення перехідної характеристики досягає 95% від максимально можливого значення.

Форсуючою ланкою називається ланка, що має передаточну функцію вигляду: , (рис.3.8)

АХЧ =

ФЧХ =

Рис.3.8 - графіки АХЧ та ФЧХ форсуючої ланки

Коливальною називається ланка, яка має передаточну функцію, вигляду:

(3.6)

К - коефіцієнт підсилення ланки, Т - постійна часу, - відносний коефіцієнт згасання. Крім, може використовуватись частота власних незгасаючих коливань:

.

Оператор передачі може бути знайдений за рахунок заміни К (D) =К (р). Звязок між вхідними та вихідними діяннями: y (t) =K (D) x (t). Звідси витікає, коливальна ланка описується рівнянням другого порядку:

КАЧХ: (3.7)

АЧХ: (3.8)

ФЧХ: ( (3.9)

Якщо затухання <0,707 - у коливальній ланці виникають затухаючі коливання, а якщо затухання >0,707 - то АХЧ співпадає з КАЧХ.

4. Перетворення схеми математичної моделі сак до стандартного вигляду

Для перетворення схеми математичної моделі САК до стандартного одно контурного вигляду необхідно виконати такі операції:

1) заміну послідовного, паралельного і зустрічно-паралельного зєднання ланок еквівалентними ланками;

2) зміну порядку підсумовування;

3) переміщення суматора чи точки розгалуження з виходу ланки на вхід і зворотне переміщення.

Таким чином, задана схема, згідно номеру варіанта, (рис.4.1) набуває стандартного вигляду, за допомогою відповідних правил розрахунку даної моделі приведених нижче:

Після цих перетворень система набуває вигляду стандартної схеми (рис.4.2).

Рисунок 4.1 - задана схема САК

Рисунок 4.2 - приведена до стандартної схема САК

Оператор передачі розімкненої системи знаходять виходячи зі стандартної одноконтурної схеми математичної моделі САК як добуток всіх операторів передачі від виходу першого суматору до виходу системи

Отже, оператор передачі розімкненої системи дорівнюватиме:

5. Складання основних рівнянь системи

Виділяють такі основні рівняння САК:

1) рівняння "вхід-вихід" системи (рівняння замкненої системи), що повязує вхідні і вихідне діяння системи:

2) рівняння помилки системи, що повязує помилку системи і її вхідні діяння.

Допоміжним етапом при складанні основних рівнянь САК є складання рівняння розімкненої системи, яке отримують виходячи зі стандартної одноконтурної схеми математичної моделі системи за умови, що зворотній звязок розімкнений.

Рівняння розімкненої системи має вигляд:

де - оператор передачі розімкненої системи;

- оператор передачі розімкненої системи за заважаючим діянням.

(див. вище)

(5.1)

Рівняння замкненої системи має вигляд

,

де - оператор передачі замкненої системи;

- оператор передачі замкненої системи за заважаючим діянням.

Оператори передачі замкненої системи знаходять за операторами передачі розімкненої системи

,

(5.2)

Рівняння помилки системи має вигляд

,

де - оператор передачі системи за динамічною помилкою

- оператор передачі системи за помилкою, що обумовлена заважаючим діянням.

Оператори передачі системи за помилкою знаходять або за операторами передачі замкненої системи

(5.3)

6. Побудова логарифмічних частотних характеристик розімкненої системи

Для побудови логарифмічних частотних характеристик розімкненої системи знайшли оператор передачі розімкненої системи .

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) розімкненої системи повязана з ЛАЧХ елементарних ланок, які можна виділити в передатній функції розімкненої системи, виразом:

,

де - ЛАЧХ i-ї елементарної ланки.

ЛАЧХ розімкненої системи будуємо на бланку з логарифмічним масштабом за таким алгоритмом:

1. визначають частоти сполучення асимптот, як величини, зворотні постійним часу ланок: К = 2,03/16 = 0,13; Т = 0,2; = 100;

(6.1)

2. будують низькочастотну асимптоту, до якої відносять усі підсилювальні, інтегруючі і диференціюючи ланки. Низькочастотна асимптота являє собою пряму, що проходить через точку , де K - загальний коефіцієнт підсилення системи, що дорівнює добутку коефіцієнтів підсилення K_i всіх елементарних ланок. Низькочастотна асимптота має нахил дБ/дек, якщо є інтегруючих ланок, дБ/дек, якщо є диференціюючих ланок, і паралельна осі абсцис, якщо інтегруючих і диференціюючих ланок немає (їх кількість однакова).

В даному випадку точка (1; - 17,7)

3. змінюють нахил ЛАЧХ після кожної частоти сполучення (у порядку їх зростання) на:

дБ/дек, якщо це частота сполучення інерційної (аперіодичної) ланки;

дБ/дек, якщо це частота сполучення форсуючої ланки;

дБ/дек, якщо це частота сполучення коливальної ланки;

дБ/дек, якщо це частота сполучення форсуючої ланки другого порядку.

Згідно цього алгоритму, отримуємо графік ЛАЧХ розімкненої системи (рис.6.1).

Логарифмічна фазочастотна характеристика (ЛФЧХ) розімкненої системи повязана з ЛФЧХ елементарних ланок, які можна виділити в передатній функції розімкненої системи, виразом

де - ЛФЧХ i-ї елементарної ланки.

ЛФЧХ будуємо по точкам, які розраховуємо в залежності від виду ланки. Точки занесені до табл. 1, приведеної нижче:

Таблиця 1

Отже, отримуємо графік ЛФЧХ, приведений на рис.6.2.

7. Опис моделі

Згідно проведених раніше розрахунків, будуємо в Matlab модель САК (рис.7)

Рисунок 7 - Схема математичної моделі САК

, (7.1)