Временные характеристики линейных цепей

Временные характеристики переходная и импульсная отражают динамические свойства линейных цепей (электромагнитных устройств) во временной области " ". В этом смысле они аналогичны частотным характеристикам: являются реакциями линейной цепи (устройства) на типовые воздействия (напряжение или ток) при нулевых начальных условиях.

В качестве типовых воздействий при исследованиях во временной области принимаются два типа импульсных воздействий: единичная ступенчатая функция и единичная импульсная функция - функция Дирака. Эти функции представляют идеализацию реальных импульсных сигналов и широко используются как идеализированные математические модели этих сигналов (рис.7.10).

Рис.7.10. Реальные импульсные сигналы и их модели: а - "ступенчатый"; б - "импульсный"

Математические модели типовых сигналов можно представить следующими выражениями:

(7.57)

(7.58)

Функция Дирака - это особая функция. Обычная (регулярная) функция не может обладать свойствами - функции. При анализе цепей и систем - функция широко используется. Для ее применения достаточно знания формальных свойств этой функции, например, свойство выборки и свойства производных от - функции.

Связь между двумя типовыми воздействиями и определяется соотношениями:

; . (7.59)

Переходной характеристикой называют реакцию линейной цепи (системы) на воздействие единичного ступенчатого сигнала (напряжения или тока) при нулевых начальных условиях.

Импульсной переходной характеристикой называют реакцию линейной цепи (системы) на воздействие единичной импульсной функции при нулевых начальных условиях.

Характеристику называют часто весовой функцией системы или весовой характеристикой.

Известно свойство линейных цепей (или систем линейных дифференциальных уравнений): если к цепи с нулевыми начальными условиями вместо исходного воздействия прикладывается его производная или интеграл, то реакция будет равна соответственно производной или интегралу от исходной реакции. Следовательно, связь между переходной и импульсной переходной характеристиками устанавливается на основе (7.59) следующими соотношениями:

; . (7.60)

В теории цепей для анализа переходных процессов при импульсных сигналах широко используется переходная характеристика. Она определяется относительно просто. Фактически ее определение сводится к анализу цепи с нулевыми начальными условиями при подключении к источнику постоянного напряжения или тока. Если известна реакция цепи при включении на постоянное напряжение или ток, то переходную характеристику можно получить делением этой реакции на амплитуду сигнала.

С другой стороны, переходные характеристики позволяют определять при нулевых начальных условиях реакции цепи на постоянные сигналы любой амплитуды.

Другим вариантом аналитического определения переходных характеристик является использование соотношений (7.60) и взаимосвязи между импульсной переходной характеристикой и передаточной функцией, которая устанавливается выражением:

. (7.61)

Импульсная переходная характеристика является функцией-оригиналом, у которой изображение по Лапласу есть соответствующая передаточная функция .

В качестве примера рассмотрим определение временных характеристик RC- цепи, схема которой приведена на рис.7.2,а. Значения параметров элементов остаются прежними: R=10 Ом; C=100 мкФ . Согласно смыслу временных характеристик напряжениями сигнала должны быть или , а независимые начальные условия - нулевые .

Определим временные характеристики как реакцию на соответствующие сигналы. Для простоты решения воспользуемся операторным методом.

Изображение реакции при нулевых начальных условиях и при воздействии в виде единичной ступенчатой функции будет определяться по соответствующим уравнениям элементов и соединений в операторной форме.

. (7.62)

Для переходной характеристики используем . Таким образом .

Тогда: , где -

постоянная времени цепи.

Оригинал определим по теореме разложения (см.7.46).

, где ; ; ; ; ; ; n = 2 (считать и нулевой корень).

В. (7.63)

Импульсную переходную характеристику (весовую функцию) определим, используя соотношения (7.60):

. (7.64)

Окончательно для рассматриваемой цепи временные характеристики: В;

Для определения временных характеристик можно использовать выражение соответствующей передаточной функции и зависимость (7.61). В данном случае .

Передаточная функция , где и ; ; . Таким образом, выражение передаточной функции: . Оригиналом этого изображения является импульсная переходная характеристика, которую определяем по теореме разложения:

,

где , .

Согласно соотношениям (7.60) переходная характеристика

В.

Результаты совпадают с полученными ранее выражениями (7.64) и (7.63).

Графическая иллюстрация временных характеристик представлена на рис.7.11.

Рис.7.11. Временные характеристики RC - цепи: а – переходная; б – импульсная переходная (весовая)

По временным характеристикам можно определять динамические показатели цепи (например, ).