Общий порядок анализа переходных процессов

- Рассматривается исходная схема цепи: коммутаторы находятся в исходном положении.

- Задаются условно положительные направления токов и полярности напряжений для всех элементов схемы (желательно согласованные).

- Выбираются в качестве неизвестных переменных только те реакции (токи и напряжения), для которых могут быть определены на основе физических законов независимые начальные условия. Эти переменные будем называть переменными состояния.

- По исходной схеме цепи определяются любым удобным методом значения переменных состояния. Эти значения являются независимыми начальными условиями.

- Составляется схема цепи для переходного режима: коммутаторы в сработанном состоянии.

- Для схемы, соответствующей переходному режиму, составляется математическая модель – уравнения цепи (на основе уравнений элементов и уравнений соединений). В общем случае – это система линейных неоднородных интегро-дифференциальных уравнений.

- Полученная система сводится дифференцированием левых и правых частей уравнений к системе линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений.

- Из уравнений этой системы исключаются любым удобным методом, например преобразованиями, все переменные, не относящиеся к переменным состояния.

- В результате получается система обыкновенных линейных дифференциальных неоднородных уравнений относительно переменных состояния. Эту систему, при необходимости, можно упорядочить и представить в форме Коши.

- Если имеем дело не с системой, а с одним интегро-дифференциальным уравнением цепи, то оно сводится к уравнению состояния теми же приемами, что и система.

- Совокупность системы уравнений состояния (или одного уравнения состояния) и независимых начальных условий является окончательной математической моделью цепи для анализа переходных процессов.

- Система уравнений цепи (уравнение цепи) решается любым удобным методом (классическим, операторным, численным, матричных экспонент).

- Результаты решения проверяются на удовлетворение независимым начальным условиям.

- Результатами решения являются временные зависимости переменных состояния. Форма представления зависит от выбранного метода решения (аналитическая, графическая, массивы с координатами точек и т.д.).

- Остальные переменные (реакции) определяются на основе переменных состояния без решения дифференциальных уравнений.

Замечание. Построение математической модели для анализа переходных процессов в форме уравнений состояния можно провести более эффективно с использованием направленного графа цепи, составленного по определенному алгоритму, который приводится в учебниках по теоретическим основам электротехники. В данной работе используется общий подход.

Переменные состояния

В математических задачах, связанных с решением систем дифференциальных уравнений, переменными состояния называются все неизвестные переменные, входящие в систему. В этих задачах для всех переменных задаются (считаются заданными) начальные условия.

В технических задачах, имеющих в качестве математических моделей системы дифференциальных уравнений, обязательно возникает дополнительная задача определения начальных условий для физических переменных. Зачастую она является весьма громоздкой и сложной.

Поэтому в технических задачах сводят количество неизвестных переменных по возможности к минимуму, оставляя только те, для которых начальные условия определяются однозначно на основе физических законов (или могут быть измерены физическими приборами в реальном устройстве).

Переменными состояния в электрических цепях являются переменные, для которых могут быть определены на основе физических законов начальные условия и это – минимально возможное количество переменных, полностью определяющих состояние цепи (системы).

Начальные условия для переменных состояния принято называть независимыми начальными условиями.

Независимые начальные условия определяются на основе законов коммутации.

Законы коммутации

В реальных цепях амплитуды токов и напряжений имеют конечные значения. Поэтому для элементов этих цепей соблюдаются как физические законы принципы непрерывности во времени потокосцепления и электрического заряда .

В теории электрических цепей эти законы называют законами коммутации.

Обозначим условно момент наступления коммутации "t". С учетом допущения об идеальности коммутации момент непосредственно перед коммутацией обозначим "- t" (подход к "t" слева), а момент непосредственно после коммутации - "+ t" (подход к "t" справа).

С учетом принятых обозначений принцип непрерывности потокосцепления (закон коммутации для индуктивности) можно сформулировать следующим образом:

- потокосцепление индуктивности L не может меняться скачком, значение потокосцепления непосредственно перед коммутацией равно значению непосредственно после коммутации.

. (7.1)

В противном случае на индуктивности L появилось бы бесконечно большое напряжение , что лишено физического смысла.

Принцип непрерывности заряда (закон коммутации для емкости):

- электрический заряд емкости C не может меняться скачком, значение заряда непосредственно перед коммутацией равно значению непосредственно после коммутации.

. (7.2.)

В противном случае через емкость протекал бы бесконечно большой ток , что лишено физического смысла.

Соотношения (7.1) и (7.2) являются выражениями физических законов коммутации и всегда выполнимы для реальных цепей (электромагнитных устройств).

Обозначим значения параметров индуктивности L и емкости C для моментов непосредственно перед и непосредственно после коммутации: ; и ; соответственно.

Если в процессе коммутации параметры L и C не изменялись, т.е. выполнялись условия

, (7.3)

, (7.4)

то из законов коммутации (7.1) и (7.2) следует:

, (7.5)

. (7.6)

Выражения (7.5) и (7.6) являются следствиями из законов коммутации и выполняются только при соблюдении условий (7.3) и (7.4), что не всегда соответствует режимам в реальных цепях (устройствах). Это следует учитывать при постановке задач анализа переходных процессов.

Независимые начальные условия определяются из выражений (7.1),(7.2) или (7.5), (7.6) как значения переменных состояния для моментов "+t". Очевидно, что для этого необходимо определить любым удобным методом значения этих переменных для момента "- t" из схемы, соответствующей состоянию до коммутации. При этом предполагается, что для существует установившийся режим.

В общем случае независимыми начальными условиями для электрических цепей, определенными на основе физических законов, являются значения или .

В качестве переменных состояния для анализа переходных процессов в электрических цепях принимаются потокосцепление индуктивности L и заряд емкости C.

При выполнении условий (7.3), (7.4) в качестве переменных состояния принимаются токи в индуктивностях и напряжения на емкостях.

Часто для удобства анализа условно принимают момент коммутации . В этом случае независимые начальные условия определяются из соотношений:

(7.7)

; . (7.8)

В теории цепей в большинстве случаев используют в качестве переменных не и , а токи и напряжения . Поэтому далее будем использовать переменные и .

Различают нулевые начальные условия:

(7.9)

и ненулевые начальные условия:

(7.10)

Независимые начальные условия характеризуют энергию магнитного поля и энергию электрического поля , запасенные в элементах цепи к моменту коммутации.

Кроме независимых начальных условий в процессе анализа могут использоваться и зависимые начальные условия – значения токов, напряжений и их производных в начальный момент "+t" или "+0". Зависимые условия определяются на основе независимых начальных условий.

Примеры расчета

АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С НУЛЕВЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Линейная динамическая электрическая цепь, схема которой приведена на рис.7.2,а, содержит идеальный источник постоянного напряжения , потребитель, представляющий последовательное соединение элементов R и C. Емкость C разряжена, потребитель подключается к источнику сигнала идеальным коммутатором (ключом) в момент времени . Параметры сигнала и элементов потребителя заданы: V = 100 B; R = 10 Ом;

C = 100 мкФ. Требуется определить реакции цепи в переходном режиме.

Рис.7.2. Схема RC-цепи: а – исходная; б – для установившегося режима ( )

- Очевидно, что для рассматриваемой цепи переменной состояния является только напряжение на емкости C.

- Согласно условию емкость C до коммутации была разряжена . Следовательно независимые начальные условия, определяемые из (7.8), являются нулевыми:

. (7.11)

- Составим уравнение цепи для схемы, соответствующей переходному режиму (ключ замкнут).

Уравнения элементов:

(7.12)

Уравнения соединений:

(7.13)

Уравнение цепи: (7.14)

С учетом (7.12) выражение (7.14) имеет вид: или

(7.15)

Уравнение (7.15) в совокупности с независимыми начальными условиями (7.11) представляет собой математическую модель цепи для анализа переходных процессов.

В данном случае цепь достаточно простая, имеет первый порядок n = 1. Порядок цепи определяется порядком дифференциального уравнения (количеством переменных состояния). Решаем уравнение (7.15) классическим методом, определяя полный интеграл в виде суперпозиции частного и общего решений. В электротехнических задачах частное решение называется принужденной составляющей, а общее решение – свободной составляющей. Таким образом, переменная состояния определяется выражением:

(7.16)

- Принужденная составляющая соответствует установившемуся процессу при и зависит от вида сигнала. В данном случае и при в цепи установится режим постоянного тока (напряжения), которому соответствует схема рис.7.2,б.

Емкость С для постоянного тока представляет бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи), и . Таким образом:

В. (7.17)

Свободная составляющая (общее решение) определяется как сумма экспонент:

, (7.18)

где - постоянные интегрирования, определяемые на основе независимых начальных условий, - корни характеристического уравнения.

Для нашего случая n = 1 и свободная составляющая будет определяться выражением:

. (7.19)

Характеристическое уравнение можно строить, используя дифференциальное уравнение (или систему дифференциальных уравнений), например из (7.15): .

В теории электрических цепей существует способ построения характеристического уравнения по выражению полного комплексного входного сопротивления цепи .

Схема, соответствующая переходному режиму цепи, разрывается в любой удобной точке. Относительно точек разрыва записывается выражение полного комплексного сопротивления . Точки разрыва в этом случае считаются входными полюсами. В выражении комплексная частота заменяется на и выражение приравнивается нулю:

(7.20)

Выражение (7.20) соответствует характеристическому уравнению цепи.

Для нашей цепи (рис.7.2,а):

или (7.21)

Из (7.21) значение с^-1.

Введем постоянную времени цепи . Тогда корень , где с = 1мс.

Для определения постоянной интегрирования В используем выражения (7.16), (7.19), (7.17) и (7.11) при :

, или .

Откуда имеем: ;

Решение (7.16) принимает вид:

В. (7.22)

- Проверка на удовлетворение независимым начальным условиям (7.11):

.

- Реакция в переходном режиме определяется уравнением емкостного элемента C:

А.

- Реакция в переходном режиме определяется уравнением резистивного элемента R:

В.

Графическая иллюстрация результатов анализа приведена на рис.7.3.

Рис.7.3. Временные зависимости реакций цепи в переходном процессе:

а – напряжение на емкости ; б – ток и напряжение на резисторе

Напряжение на емкости не изменяется скачком в момент коммутации , а монотонно изменяется по экспоненциальному закону от значения начального условия до установившегося значения . Происходит процесс заряда емкости до напряжения источника (рис.7.3,а).

Ток емкости , ток резистора и напряжение на резисторе изменяются скачком в момент коммутации, а затем плавно, по экспоненциальному закону стремятся к своим установившимся значениям (рис.7.3,б).

Крутизна характеристик (скорость изменения переменных) определяется значением постоянной времени цепи τ. Значение τ численно равно длине подкасательной в любой точке экспоненциальной функции (рис.7.3).

В табл.7.1 приведены относительные значения переменной в процентах от ее теоретического установившегося значения через промежутки времени .

Таблица 7.1

Постоянная времени τ характеризует скорость протекания переходного процесса только в цепях первого порядка с монотонными (экспоненциальными) временными зависимостями реакций.

АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С НЕНУЛЕВЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Линейная динамическая цепь первого порядка, схема которой приведена на рис.7.4,а, содержит идеальные источники постоянных напряжений и , потребитель, представляющий последовательное соединение элементов R и L. Потребитель переключается в момент времени идеальным коммутатором (переключателем) с источника на источник . Параметры сигналов и элементов потребителя заданы: , В; ; B; Ом; мГн. Требуется определить реакции цепи в переходном режиме.

- Для рассматриваемой цепи переменной состояния является только ток в индуктивности L.

- Определим независимые начальные условия для переменной , используя исходную схему цепи (рис.7.4,а). Переключатель находится в положении "1" и потребитель подключен к источнику напряжения V_0.

Рис.7.4. Схема RL - цепи: а – исходная; б – для установившегося режима ( )

В установившемся режиме, предшествующем моменту коммутации t₀, в цепи существовал режим постоянного тока (напряжения). Индуктивность L в этом режиме представляет короткое замыкание между узлами "3" и "0". Следовательно, ток в индуктивности L непосредственно перед коммутацией определяется как

A. (7.23)

Согласно следствию (7.8) независимое начальное условие для :

A. (7.24)

Уравнение цепи для схемы, соответствующей переходному режиму (рис.7.4,а, ключ в положении "2"), составляется аналогично рассмотренной ранее задаче.

Уравнения элементов:

. (7.25)

Уравнения соединений:

(7.26)

Уравнение цепи: . (7.27)

С учетом (7.25) и (7.26) выражение (7.27) имеет вид:

. (7.28)

Уравнение (7.28) в совокупности с независимыми начальными условиями (7.24) представляет собой математическую модель цепи для анализа переходных процессов.

Решаем уравнение (7.28) классическим методом. Полный интеграл уравнения (7.28) имеет вид:

. (7.29)

Принужденная (установившаяся) составляющая тока определяется из схемы рис.7.4,б. Для в цепи устанавливается режим постоянного тока (напряжения), для которого индуктивность L представляет собой нулевое сопротивление, т.е. короткое замыкание между узлами 3 и 0. Таким образом, значение принужденной составляющей:

(7.30)

Свободная составляющая определяется аналогично выражению (7.19):

. (7.31)

Характеристическое уравнение строится аналогично (7.21):

или . (7.32)

Из (7.32) значение корня: с^-1.

Введем постоянную времени цепи .

Соответственно , где с = 1 мс.

Постоянную интегрирования А определяем на основе выражений (7.29), (7.30), (7.31) и (7.24) при :

,

откуда А.

Свободная составляющая:

(7.33)

Решение (7.29) принимает вид:

(7.34)

Проверка на удовлетворение независимым начальным условиям (7.24):

.

Реакция в переходном режиме определяется из уравнения

элемента L:

В. (7.35)

Реакция в переходном режиме определяется из уравнения

элемента R:

В. (7.36)

Графическая иллюстрация результатов анализа приведена на рис.7.5.

Рис.7.5. Временные зависимости реакций цепи в переходном режиме: а – ток ;

б - напряжения на резисторе и на индуктивности

Ток в индуктивности (входной ток цепи ) не изменяется скачком в момент коммутации , а монотонно изменяется по экспоненциальному закону от значения начального условия до установившегося значения .

Напряжение на резисторе R повторяет форму тока с точностью до масштаба R.

Напряжение на индуктивности L изменяется скачком в момент коммутации, а затем плавно по экспоненциальному закону стремится к своему установившемуся значению .

Все временные зависимости экспоненциальные, имеют одинаковую крутизну, определяемую значением постоянной времени .

АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RLC - ЦЕПИ ВТОРОГО

ПОРЯДКА С НУЛЕВЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Линейная динамическая цепь второго порядка, схема которой приведена на рис.7.6,а, содержит идеальный источник постоянного напряжения , потребитель, представляющий последовательное соединение элементов R, L и C. Потребитель подключается к источнику сигнала в момент идеальным коммутатором (ключом). Параметры сигнала и элементов потребителя заданы: .

Требуется определить реакции цепи в переходном режиме.

Рис.7.6. Схема RLC- цепи: а – исходная; б – эквивалентная для изображений по Лапласу

Для рассматриваемой цепи переменными состояния являются ток в индуктивности L (он же входной ток ) и напряжение на емкости C.

Очевидно, что непосредственно перед коммутацией ток в контуре отсутствовал, т.е. , следовательно, независимое начальное условие для :

. (7.37)

Поскольку в условии задачи не указывается на предварительный заряд емкости, то, исходя из схемы рис.7.6,а, считаем, что напряжение на емкости непосредственно перед коммутацией отсутствует и независимое начальное условие для :

. (7.38)

Определим реакции цепи в переходном режиме операторным методом, суть которого достаточно подробно изложена в курсе высшей математики. Построение эквивалентной схемы для изображений (рис.7.6,б) осуществляется достаточно просто в соответствии с табл.7.2.

Функции - оригиналы сигнала и реакций имеют каждая свое единственное изображение по Лапласу: , .

Уравнение цепи (рис.7.6,б) в операторной форме:

(7.39)

С учетом нулевых начальных условий (7.37) и (7.38) уравнение (7.39) имеет вид:

, (7.40)

где . Из (7.40) находим функцию-изображение тока :

. (7.41)

Для дальнейшего определения функции – оригинала воспользуемся теоремой разложения. Представим функцию – изображение в форме правильной операторной дроби:

, (7.42)

где , а .

Таблица 7.2

Таблица соответствия элементов, уравнений элементов, функций сигналов области "t" их изображениям в области переменной Лапласа "S"

Для нахождения корней характеристического уравнения операторного выражения (7.42) определяем полюсы функции (нули функции ). Формально заменяем в выражении комплексную переменную Лапласа S на :

. (7.43)

Корни характеристического уравнения (7.43):

. (7.44)

Обозначим константы: ; , где - резонансная (собственная) частота контура. Таким образом, корни:

. (7.45)

Вид корней зависит от соотношения параметров цепи R, L и C.

Для реальных электрических цепей (электромагнитных устройств) в общем случае возможны два вида корней:

- корни вещественные простые при ;

- корни комплексные сопряженные при .

Для устойчивых систем (цепей) согласно теореме Ляпунова вещественные части корней должны быть отрицательными. В противном случае система неустойчива и не имеет решения (полный интеграл не сходится, т. е. отсутствует установившаяся составляющая). Диссипативные системы (цепи) без обратных связей устойчивы.

В рассматриваемой цепи корни характеристического уравнения: . Корни вещественные, отрицательные, простые, цепь устойчива (переходные процессы устойчивые).

Функция – оригинал определяется по теореме разложения, имеющей для случая простых корней выражение:

, (7.46)

где = 1, 2, 3, …, n; n – порядок полинома знаменателя F₂(S) ; ;

при .Таким образом: .

Для

Для

(7.47)

Временная зависимость представляет собой разность двух экспонент, имеющих разную крутизну. Это апериодический немонотонный процесс. В момент коммутации ток не меняется скачком.

Проверка на удовлетворение независимым начальным условиям (7.37):

.

Реакция в переходном режиме определяется из уравнения

элемента R и повторяет форму тока :

,В. (7.48)

Реакции и также целесообразно определить из соответствующих уравнений элементов L и C:

,В. (7.49)

(7.50)

Временная зависимость реакции представляет собой сумму двух экспонент с разной крутизной. Причем в момент коммутации напряжение изменяется скачком от до В, а затем плавно и немонотонно стремится в пределе к своему установившемуся значению .

Временная зависимость реакции является суммой двух экспонент с разной крутизной и постоянной составляющей.

В момент коммутации напряжение не меняется скачком. Зависимость , строго говоря, немонотонная, в пределе стремится к своему установившемуся значению В (емкость заряжается до значения напряжения сигнала).

Графическая иллюстрация результатов анализа приведена на рис.7.7.

Рис.7.7. Временные зависимости реакции RLC - цепи в переходном режиме :

а – ток ; б – напряжения на емкости и на индуктивности

Процессы в рассматриваемой цепи при заданных значениях параметров являются апериодическими, немонотонными, устойчивыми (корни характеристического уравнения отрицательные, вещественные, простые).

При иных значениях параметров R, L и C в этой цепи переходные процессы могут иметь принципиально другой вид. Если изменить значения R, L и C таким образом, чтобы выполнялось условие , то корни характеристического уравнения цепи будут комплексными сопряженными с отрицательными вещественными частями. Например, при Ом;

мГн; мкФ имеем: ; рад/с, . Корни характеристического уравнения:

, (7.51)

где - частота свободных колебаний системы (цепи), рад/с.

; . (7.52)

Корни и - комплексные, сопряженные с отрицательными вещественными частями.

Функция-оригинал определяется по выражению (7.46):

, где , ;

; ;

; (7.53)

(7.54)

Выражение (7.53) представляет собой гармоническую функцию, амплитуда которой изменяется во времени по экспоненциальному закону , а частота .

Остальные реакции цепи , и можно получить на основе выражения (7.53) используя соответствующие уравнения элементов R, L и C аналогично (7.48), (7.49) и (7.50).

На рис.7.8 приведена графическая иллюстрация результатов анализа рассматриваемой цепи для случая комплексных сопряженных корней (7.52).

Рис.7.8. Временные зависимости реакций RLC - цепи в переходном режиме при : а - ток ; б – напряжения и

Процессы в рассматриваемой цепи при таких соотношениях параметров являются колебательными затухающими (корни характеристического уравнения комплексные, сопряженные с отрицательными вещественными частями).

Из рассмотренных примеров можно сделать вывод: характер переходных процессов зависит от вида корней характеристического уравнения цепи, т.е. определяется соотношением значений параметров элементов цепи.

Необходимо заметить, что приведенные выше методы анализа переходных процессов являются аналитическими и эффективны лишь для относительно простых цепей первого и второго порядков.

Для анализа цепей высоких порядков (n > 2) следует использовать матричные и численные методы, либо профессиональные пакеты прикладных программ.

Выбор значения расчетного времени переходного процесса

Расчетное время переходного процесса является значением верхнего предела интегрирования при решении системы дифференциальных уравнений цепи (определении полного интеграла).

Момент коммутации является значением нижнего предела интегрирования.

Если момент при решении практических задач либо задан, либо условно принимается равным нулю, то задание значения представляет определенную проблему.

При экспериментальных исследованиях по показаниям приборов, регистрирующих переходные характеристики, можно судить о степени приближения наблюдаемых переменных к их установившимся значениям и по результатам измерений прекращать или продолжать процесс наблюдения.

При анализе моделей реальных устройств верхний предел интегрирования определяется однозначно при заданном значении допустимой погрешности только для монотонных переходных характеристик, т.е. для цепей (системы) первого порядка. Можно использовать следующий порядок определения.

- Определяется значение принужденной составляющей реакции (для установившегося режима) .

- Определяется базисное значение реакции в переходном режиме. За базисное значение принимается максимальное значение реакции, если установившаяся составляющая равна нулю ( ), Если , то за базисное значение принимается значение установившейся составляющей .

- Вычисляется абсолютное значение допустимой погрешности , где - заданная допустимая погрешность.

- Составляется показательное уравнение относительно неизвестной :

. (7.55)

- Из уравнения (7.55) определяется значение .

В качестве примера определим значение для реакции из выражения (7.22) при .

Из (7.22) имеем значение установившейся (принужденной) составляющей . Очевидно, что значение базисной величины выбирается как Абсолютная погрешность Показательное уравнение из (7.22):

или .

Откуда имеем:

. (7.56)

Окончательно определяем логарифмированием выражения (7.56):

мс.

Задание приближенного значения для цепей первого порядка можно осуществить, используя данные табл.7.1.

Для цепей порядка следует определять значение по моменту окончательного входа временной зависимости реакции (временной характеристики) в трубку допустимой погрешности (см. рис.7.9).

При немонотонных процессах трубка допустимой погрешности откладывается относительно установившегося значения функции реакции . Выбор базисной величины аналогичен выбору в цепях первого порядка.

При использовании современных пакетов прикладных программ для численного анализа переходных процессов задание верхнего придела интегрирования в общем случае следует проводить в режиме итераций, контролируя результаты анализа. Такой подход является некоторым аналогом эксперимента.

Рис.7.9. Определение реального (расчетного) времени t_рас. переходного процесса:

а – для монотонных процессов; б – для немонотонных