5.Использование методов частотных и переходных характеристик для анализа цепей.

Анализ частотных характеристик осуществляется частотным методом, при котором электрическая цепь задается своими частотными характеристиками (АЧХ и ФЧХ), которые в большинстве практических случаев могут быть просто измерены или рассчитаны. Частотный метод анализа включает в себя задачу частотного или спектрального представления воздействия в виде суммы гармонических составляющих с определенными амплитудами, начальными фазами и частотами, а также задачу определения реакций цепи на каждую гармоническую составляющую воздействия и их суммирование.

Для анализа переходных характеристик электрических цепей существует ряд аналитических методов: классический, операторный, метод Дюамеля, Временной.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.

Операторный метод,

Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.

Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.

Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в об­ласть комплексного переменного р:

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением.

где f(t) — функция действительного переменного t, определенная при t 0 (при t < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста: где множитель М и показатель роста с0 — положительные действительные числа На рис. 7.1 изображена область определения функции комплексного переменного F(p).

В основе классического метода расчета переходных процессов в электрических цепях лежит составление интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются на основе законов Кирхгофа, методов контурных токов, узловых напряжений и могут содержать как независимые, так и зависимые переменные. Для удобства решения обычно принято составлять дифференциальные уравнения относительно независимой переменной, в качестве которой может служить iL или uC. Решение полученных дифференциальных уравнений относительно выбранной переменной и составляет сущность классического метода.

Учитывая, что в ряде случаев решение дифференциальных уравнений проще интегрально-дифференциальных, полученную систему сводят к одному дифференциальному уравнению соответствующего порядка относительно выбранной независимой переменной iL или uC. Порядок дифференциального уравнения определяется числом независимых накопителей энергии электрического и магнитного полей.

Дифференциальное уравнение m-гo порядка, описывающее переходный процесс в электрической цепи, находящейся под воздействием источника w(t), описывается уравнением:

где b0, b1, ..., bm–1, bm — коэффициенты параметров цепи; w(t) — функция, описывающая характер воздействия на цепь.

Цепь, параметры которой b0, b1, ..., bm–1, bm – неизменны, называют цепью с постоянными параметрами. Если же какой-либо из коэффициентов b0, b1, ..., bm–1, bm — переменен, то цепь называют параметрической.

Обозначим независимую переменную (iL или uC) через x = x(t).

Из конспекта:

Метод частотных характеристик.

Линейные цепи обладают свойствами, если на входные подавать гармонический сигнал: U1=Um1

То на выходе гармонич. сигнал будет отличаться от входного амплитудой и фазой: U2=Um2; U1=КuU где Кu- компл. коэффициент передачи линейной цепи.

Кu==Ku где Кu модуль коэф передачи цепи.

показывает сдвиг по фазе

Сигнал проходя через электрическую цепь не искажается если цепь имеет идеализированные АЧХ и ФЧХ характеристику

ТОесть условиями неискажённой передачи сигнала являются: постоянство модуля , коэф. передачи. Для каждой линейной цепи АЧХ и ФЧХ можно апред. Экспрементально.

В основе временного метода лежит понятие переходной и импульсной характеристик цепи

Использование понятий переходной и импульсной характеристик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непериодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t) или импульсной функции d(t), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи нахо­дится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t) или d(t).

Между переходной g(t) и импульсной h(t) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций величины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t т. е. единичная импульсная функция равна производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение (8.1) сохраняется и для импульсных и переходных реакцийт. е. импульсная характеристика является производной от переходной характеристики цепи.