Линейная ТАУ

3.7. Звено второго порядка

Дифференциальное уравнение звена второго порядка

(3.39)

где a₂, a₀, b 0, принято записывать в стандартном виде:

(3.40)

где , d - коэффициент демпфирования, который определяет склонность звена к колебаниям, , - коэффициент передачи.

Передаточную функцию получим на основе символической записи дифференциального уравнения,

y + 2d py + y = ku,

в виде:

(3.41)

Определим модальные характеристики по характеристическому уравнению

(3.42)

Оно имеет два корня, которые в зависимости от коэффициента демпфирования могут быть вещественными и комплексно - сопряженными, что приводит к различным переходным процессам в звене.

Рис.3.21. Переходная характеристика звена 2-го порядка при

1). Если , то корни уравнения (3.42) вещественные. Обозначим их через и получим переходную функцию в виде:

(3.43)

Рис.3.22. Переходная характеристика звена при , Т > 0

2). Если , то корни уравнения (3.42) будут комплексно - сопряженными, то есть (а при d = 0 получаем ).

Если , то звено второго порядка называют колебательным. Его переходная функция следующая:

(3.44)

Колебательность переходного процесса зависит от коэффициента демпфирования d: она будет тем больше, чем меньше d. При d = 0 имеют место незатухающие колебания.

Определим частотные характеристики звена, заменив p на j в передаточной функции (3.41).

(3.45)

Отсюда получим выражения для ВЧХ и МЧХ в виде:

(3.46)

(3.47)

При построении АФХ на комплексной плоскости необходимо рассматривать характерные точки:

Рис.3.23. АФХ звена второго порядка

Вид АФХ существенно зависит от k и d. При d=0 АФХ совпадает с вещественной осью.

На основе выражения

(3.48)

строится ЛАЧХ.

Асимптотическую ЛАЧХ колебательного звена (при ) также можно построить, если рассматривать отдельно области высоких и низких частот и для каждой определить свою асимптоту:

ОНЧ: , L( )= L₁( )=20 lg k.

(3.49)

ОВЧ: , L ( )=L₂( ) = 20 lgk -40lg( ).

(3.50)

Частота называется собственной частотой колебательного звена. Причем на этой частоте для асимптотической ЛАЧХ справедливо соотношение: .

Рис.3.24. Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена

Наибольшее отличие асимптотической ЛАЧХ от действительной наблюдается на собственной частоте и зависит от коэффициента демпфирования.

При с достаточной точностью можно применять асимптотическую ЛАЧХ звена.

Рис.3.25. Влияние d на ЛАЧХ звена

Если d < 0,5, то следует строить точную ЛАЧХ.

При d > 1 корни характеристического уравнения (3.42) будут вещественными, и передаточную функцию звена второго порядка (3.41) можно представить в виде

произведения двух передаточных функций апериодических звеньев:

(3.51)

где - постоянные времени апериодических звеньев. В этом случае асимптотическая ЛАЧХ звена второго порядка имеет два излома на частотах . Она может быть получена суммированием асимптотических ЛАЧХ двух апериодических звеньев.

Содержание