Разностные уравнения

Аналогом первой производной непрерывной функции для решетчатой функции является либо первая обратная разность

f[n] =f[n] -f[n-1],

либо первая прямая разность

f[n] =f[n+1] -f[n].

Прямая разность определяется в момент времениt=nTпо будущему значению решетчатой функции приt=(n+1)*Т. Это можно сделать в тех случаях, когда будущее значение известно.

Обратная разность определяется для момента времени t=nTпо прошлому значению решетчатой функции в момент времени (n- 1)*Т.

Аналогом второй производной служат вторые разности:

Обратная .

Для вычисления k-й разности используют рекуррентную формулу

или формулу общего вида

, (1)

где биномиальные коэффициенты (число сочетаний) .

Обратные разности обладают важной особенностью: если решетчатая функция определена только для положительных значений аргумента, то есть

при n<0, то в точкеn=0k-я разность

для любого целого положительного k.

Аналогами интегралов непрерывных функций в пределах от 0 до tдля решетчатых функций являются неполные суммы

и полные суммы

.

В качестве аналогов дифференциальных уравнений рассматриваются уравнения в конечных разностях.

При использовании обратных разностей уравнение в конечных разностях будет иметь вид

.

С учетом формулы (1) последнее выражение приобретает вид

,

коэффициенты уравнения определяются выражениями

, .

Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом: , (2)

где (i=1,2,…,m) – корни характеристического уравнения

,

а - произвольные постоянные.

Из (2) вытекает условие того, чтобы свободное движение системы, описываемой разностным уравнением, было бы затухающим (условие устойчивости): ||<1 (i=1,2,…,m).

Для исследования решений разностных уравнений используются дискретное преобразование Лапласа, z– преобразование,w– преобразование, а также частотные методы.