4.3.1. Критерий устойчивости Гурвица

Это алгебраический критерий, который предполагает рассмотрение характеристического уравнения в стандартной форме (4.11):

Из его коэффициентов по следующему правилу составляется матрица Гурвица:

на главной диагонали сверху вниз выписываются по порядку коэффициенты характеристического уравнения от a_n до a₁ включительно. В каждом столбце вниз от диагонали записывают коэффициенты при возрастающих степенях оператора p, вверх - при убывающих степенях p. Недостающие элементы в столбцах дополняются нулями.

dim H = n x n . Приведем без доказательства критерий Гурвица.

Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все n определителей, получаемых из матрицы Гурвица H, были положительны.

Здесь

. . .

Условие, при котором система находится на границе устойчивости, согласно критерию Гурвица, имеет вид:

Пример 4.4.

Проверить устойчивость системы 3-го порядка, дифференциальное уравнение которой имеет вид:

Запишем характеристическое уравнение

и составим матрицу Гурвица для этой системы:

Условия устойчивости системы в соответствии с критерием Гурвица следующие:

Поскольку положительность всех коэффициентов характеристического уравнения следует из необходимого условия, то условие устойчивости системы 3-го порядка принимает вид: