56. Устойчивость аср. Критерий устойчивости Гурвица

Под переходным процессом в АСР понимается поцесс изменения регулируемой величины от момента нанесения возмущающего воздействия до прихода ее в равновесное состояние. В завис от динамических свойств АСР при конечном ступенчатом возмущении, могут иметь место следующие переходные процессы

апериодически-сходящийся апериодически-расходящийся

колебательный-сходящийся колебательный-расходящийся

Под устойчивостью понимается свойство системы самостоятельно приходить в равновесное состояние после устранения причины, вызвавшей отклонение из этого состояния

Для решения ур-ия можно представить в идее суммы 2-ух составляющих

где y_c(t)— свободная составляющая перех. процесса и предст. собой решение соответствующего однородного уравнения динамики, т.е. вместо правой части уравн. ставиться нуль;

y_b(c)—вынужденная составляющая перех. процесса предст. собой частное решение исходного ур-ия и зависящее от вида Z.

Система является устойчивой, если свободная составляющая переходного процесса при неограниченном возрастании времени стремиться к нулю

-- принцип Ляпунова

0 В соответствии с существующей методикой решение уравнения можно представить в виде суммы этих составляющих

-постр. коэффициенты; - корни уравнения

В том случае, если корни ур-ия были только вещественны, то характер каждой составляющей в выражении зависит от знака корняВ том случае, если имели место только сопряжен. корни, то для устойчивости системы необходимым условием явл-ся наличие отрицательной вещественной части

ар+а₀=0

а₂р²+а₁р+а₀=0

а₃р³+а₂p²+а₁р+а₀=0

Критерий устойчивости

С математической точки зрения крит. устойчивости хар-ет необходимые достаточные условия при соблюдении которых все корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть. Система устойчива, если положительны все коэффициенты характеристического ур-ния. Это является небход. и достаточным условием лишь для урав. 1-го и 2-го порядка. Для уравнений высшего порядка это условие является необходимым, но не гарантирует устойчивость системы. В этом случае на коэффициент характеристического уравнения устанавливается дополнит. ограничения с помощью критериев устойчивости.

Критерий устойчивости Гурвица

По Гурвицу система устойчива, если положит. все коэффициенты характеристич. ур-ния, а так же положительны диагональные определители матрицы Гурвица a_n, a_n-1, a_n-2, a_n-3…. a₄, a₃, a₂, a₁, a₀

1. порядок матрицы, т.е.число строк и столбцов опр-ся порядком уравнения

2. начиная с левого верхнего угла по центральной диагонали выписываются все коэффициенты, начиная с предпоследнего

3. вверх по столбцам ( ) выписываются коэффициенты стоящие справа, вниз по столбцам ( ) – слева, а остальные свободные места заполняются нулями

4. очерчивая одинаковое кол-во строк и столбцов начиная с левого верхнего угла находят определители матрицы

и т.д.

- - система неустойчива

Пример:

Система неустойчива