Составление уравнений состояния для схемы с идеальным оу

Изобразим схему для составления уравнений состояния (УС) с учётом того, что ОУ ― идеальный [3]:

Рис. 9. Расчётная схема для составления УС

Примечание:

Для схем с обратной связью уравнения состояния удобнее составлять по методу наложения.

Рассматриваемая схема в исходном варианте не содержит обратную связь, поэтому уравнения состояния составим с использованием расширенных узловых уравнений:

Решим систему относительно токов i_c1 и i_c2. С учётом (3) система упрощается:

(5) φ₁ = U_c2,

(4) φ₃ = U_c2 − U_c1,

(2) i_c2 = −g₃ φ₃ = − g₃(U_c2 − U_c1) = g₃U_c1 − g₃U_c2,

(1) i_c1 = U_ВХg₁ − i_c2­ − g₁ φ₁ = U_ВХg₁ − g₃U_c1 + g₃U_c2 − g₁ U_c2 = − g₃U_c1 +

+(g₃ – g₁) U_c2 + U_ВХg₁.

Так как , то уравнения состояния примут вид:

.

Численные значения коэффициентов матриц А₁ и В₁ для рассматриваемого примера равны:

.

Составим характеристическое уравнение:

det(λ·1 – A₁) = 0,

.

По правилу расчёта определителя получаем квадратное уравнение:

Характеристическое уравнение совпадает по виду со знаменателем передаточной функции H(p), полученной в первой части расчёта. После подстановки чисел получаем следующее характеристическое уравнение (ХУ):

.

Найдём его корни:

Так как корни ХУ получились комплексно-сопряженные, то вид решения для напряжений на конденсаторах запишется следующим образом:

Напряжение на выходе схемы вычисляется по формуле:

.

Составим схему для установившегося режима (рис. 10):

Рис. 10. Расчётная схема для установившегося режима

Рассмотрим момент времени t = 0₊. УС примут вид:

.

Система для поиска неизвестных коэффициентов в выражении для U_c1(t) примет следующий вид:

Решая эту систему, получаем:

γ₁ = −37,05˚, А₁ = 1,6596 В.

Вид решения для напряжения на конденсаторе С₁:

В.

Система для поиска неизвестных коэффициентов в выражении для U_c2(t) примет следующий вид:

Решая эту систему, получаем:

γ₂ = 62,59˚, А₂ = −1,1254 В.

Вид решения для напряжения на конденсаторе С₂:

В.

Вид решения для выходного напряжения схемы:

Переходная функция h(t) = U_ВЫХ(t). По определению, импульсная характеристика находится следующим образом:

После получения аналитических выражений для переходной и импульсной характеристик, необходимо построить график h(t). Его удобно строить с помощью системы DESIGN LAB 8.0. Расчётная схема для идеального ОУ будет выглядеть так:

Рис. 11. Расчетная схема для получения временных характеристик

V1 ― это импульсный источник напряжения VPULSE со следующими значениями атрибутов:

V1 = 0 (минимальное напряжение импульса),

V2 = 1 (максимальное напряжение импульса),

TD = 0 (задержка импульса относительно начала отсчёта времени),

TR = 0 (длительность переднего фронта импульса),

TF = 0 (заднего фронта импульса),

PW = 2m (длительность плоской вершины импульса),

PER = 10m (период повторения импульса).

Окно запуска на решение должно выглядеть так:

Рис. 12. Окно для задания временного анализа схемы

Предварительно необходимо рассчитать примерный временной диапазон расчёта Final Time, который рассчитывается через полученное значение ω_СВ. Чтобы получить “хорошую” картинку, этот расчёт можно повторять несколько раз и соответственно несколько раз запускать задачу на решение. Окно запуска должно выглядеть так:

Рис. 13. Окно для определения временного диапазона расчёта

После того, как все параметры заданы, задача запускается на решение нажатием клавиши F11 и на экран выводится временная характеристика:

Рис. 14. Переходная функция для схемы с идеальным ОУ

Для реального ОУ также надо рассчитать переходную характеристику. Для этого надо внести изменения в расчётную схему:

Рис. 15. Расчётная схема для случая реального ОУ

После этого задача отправляется на решение и результаты выводятся на экран (см. рис.16). Сравнительный анализ показывает, что “картинки” для случая идеального и реального ОУ практически совпадают.

Рис. 16. Переходная характеристика для реального ОУ