2.5 Нелинейные волны

Наиболее известными и хорошо исследованными нелинейными уравнениями математической физики являются уравнения, описывающие распространение волн в нелинейных средах [14]. Решениями таких уравнений могут быть ударные волны или солитоны – уединенные волны, обладающие свойствами частиц.

Уравнение Буссинеска:

. (2.44)

Уравнение Кортевега-де Фриза:

. (2.45)

Уравнение синус – Гордона:

. (2.46)

Нелинейное уравнение Шредингера:

. (2.47)

В качестве первого шага при исследовании нелинейных волновых уравнений часто ищут решения в виде стационарных бегущих волн, то есть волн, форма которых не зависит от времени.

Рассмотрим уравнение Кортевега-де Фриса (2.45).

Будем искать решение уравнения (2.45) в виде:

, (2.48)

где ,.

Преобразовав, имеем:

. (2.49)

Введем новую переменную:

. (2.50)

Тогда:

. (2.51)

Получили уравнение осциллятора с потенциальной энергией W. Тогда – седло, точка– центр (рис. 2.6).

Рис. 2.6 – Потенциальная энергия и фазовый портрет уравнения Кортевега-де Фриза в случае стационарных волн

Волны малой амплитуды будут иметь форму близкую к синусоидальной. Волны большой амплитуды сильно нелинейны, их называют кноидальными. Движению по сепаратрисе соответствует уединенная волна – солитон.

Преобразовав уравнение (2.51) получаем:

, (2.52)

где - неполный эллиптический интеграл первого рода.

. (2.53)

Рассмотрим случай малых колебаний вблизи дна потенциальной ямы. Тогда ,,,,. Тогда:

. (2.54)

Получено уравнение гармонической волны (рис. 2.6).

Рассмотрим предельный случай . Тогда,.

. (2.55)

Получено решение в виде солитона – уединенной волны – с амплитудой и шириной(рис. 2.7).

Рис. 2.7 – Сверху вниз: слабо несинусоидальная волна, кноидальная волна, солитон