2.2 Сложение гармонических колебаний

1. Сложение однонаправленных колебаний.

Сложим два колебания одинаковой частоты, но различных фаз и амплитуд [11].

,

. (2.17)

При наложении колебаний друг на друга:

. (2.18)

Введем новые параметры исогласно уравнениям:

,

. (2.19)

Система уравнений (2.19) легко решается:

, (2.20)

. (2.21)

Таким образом, для окончательно получаем уравнение:

. (2.22)

Итак, в результате сложения однонаправленных колебаний одинаковой частоты получаем гармоническое (синусоидальное) колебание, амплитуда и фаза которого определяется формулами (2.20) и (2.21).

Рассмотрим частные случаи, при которых соотношения между фазами двух складываемых колебаний различны:

а) пусть , тогда;

б) пусть , тогда;

в) пусть , тогда.

Сложим теперь однонаправленные колебания одинаковой амплитуды, одинаковых фаз, но разной частоты:

=. (2.23)

Рассмотрим случай, когда частоты близки друг к другу, т.е. . Тогда приближенно будем считать, что, авеличина малая. Уравнение результирующего колебания будет иметь вид:

. (2.24)

Его график изображен на рис. 2.2. Такое колебание называется биением.

Рис. 2.2 – Биения

Оно осуществляется с частотой , но его амплитуда совершает колебание с большим периодом.

2. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний.

Допустим, что одно колебание осуществляется вдоль оси , другое – вдоль оси. Результирующее движение, очевидно, располагается в плоскости.

Допустим, что частоты колебаний и фазы одинаковы, а амплитуды различны.

,

. (2.25)

Чтобы найти траекторию результирующего движения, нужно из уравнений (2.25) исключить время. Для этого достаточно поделить почленно одно уравнение на другое, в результате получим:

. (2.26)

Уравнение (2.26) показывает, что в данном случае сложение колебаний приводит к колебанию по прямой линии, тангенс угла наклона которой определяется отношением амплитуд.

Пусть фазы складываемых колебаний отличаются друг от друга на 1/2 и уравнение имеют вид:

,

. (2.27)

Чтобы найти траекторию результирующего движения, исключив время, нужно уравнения (2.27) возвести в квадрат, предварительно поделив их на исоответственно, а затем сложить. Уравнение траектории примет вид:

. (2.28)

Это – уравнение эллипса. Можно доказать, что и при любых начальных фазах и любых амплитудах двух складываемых взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты результирующее колебание будет осуществляться по эллипсу. Его ориентация будет зависеть от фаз и амплитуд складываемых колебаний.

Если же складываемые колебания имеют различные частоты, то траектории результирующих движений получаются весьма разнообразными. Только в случае если частоты колебаний по и пократны друг другу, получаются замкнутые траектории. Такие движения можно отнести к числу периодических. В этом случае траектории движений называются фигурами Лиссажу. Рассмотрим одну из фигур Лиссажу, которая получается при сложении колебаний с отношениями частот 1:2, с одинаковыми амплитудами и фазами в начале движения:

;

. (2.29)

Вдоль оси у колебания происходят в два раза чаще, чем вдоль оси . Сложение таких колебаний приведет к траектории движения в виде восьмерки (рис. 2.3).

Рис. 2.3 – Фигура Лиссажу