2.3 Ангармонический осциллятор

Уравнение колебаний физического маятника имеет вид [14]:

, (2.30)

где ;

–масса маятника;

–его момент инерции относительно оси вращения;

–расстояние от точки подвеса до центра масс;

–ускорение свободного падения;

–угол отклонения из положения равновесия.

Разложение в ряд Тейлора:

=(2.31)

При малых углах отклонения ()и уравнение (2.30) переходит в уравнение гармонического осциллятора (2.1). Для уточнения решения можно учесть следующий член в разложении (2.31), тогда:

. (2.32)

Полученное уравнение может быть решено методами теории возмущений в виде:

. (2.33)

Если углы отклонения не очень велики, то правую часть уравнения (2.33) можно считать малой поправкой (возмущением). При возмущении равном нулю уравнение (2.33) переходит в (2.1) и его решение:

. (2.34)

Решением возмущенного уравнения является суперпозиция колебаний с частотами и. Решение уравнения (2.30) будет содержать набор высших гармоник. Наличие в спектре колебаний с кратными частотами (гармоник) – наиболее важная характерная черта нелинейных колебаний.

В случае не очень больших колебаний период колебаний равен:

. (2.35)

Для произвольных углов:

, (2.36)

где

, (2.37)

- полный эллиптический интеграл первого рода.

Уравнение (2.30) описывает ангармонический осциллятор. Его решение можно представить в виде суперпозиции нескольких гармонических решений. Результаты решения уравнения (2.30) представлены на рис. 2.4 (зависимость ) и на рис. 2.5 (зависимость).

Рис.2.4 – Зависимость

Рис.2.5 – Зависимость

Любопытно поведение ангармонического осциллятора под действием внешней гармонической силы. Наличие в решении высших гармоник приводит к тому, что резонанс может наступить на различных частотах, кратных собственной частоте гармонического осциллятора. Неизохронность колебаний, то есть зависимость периода (частоты колебаний) от амплитуды приводит к тому, что при резонансе собственная частота осциллятора меняется, и он выходит из резонанса.