2.4 Параметрические колебания

Параметрическими колебаниями называются колебания, при которых происходит периодическое изменение какого-либо параметра колеблющейся системы. Если изменение параметра системы к увеличению амплитуды колебаний, то такой процесс называют параметрическим резонансом [15].

Параметрические явления можно рассмотреть на примере с качелями. Если качнуть качели, и сидящий на ней на корточках, в момент поднятия будет привставать, и как только качели перешли мертвую точку, будет садиться, в колебательный контур сообщится энергия равная изменению массы в этот момент. Для сидящего на качелях этот момент будет происходить по инерции, качели сами подкидывают тело, и приседание не вызовет затруднений так как на тело действует гравитация. Суммарная затраченная энергия будет больше, полученной. Но в сумме всех затраченных и полученных энергий кпд за единицу не перевалит. Таким образом мы создали параметрические колебания. Так же их можно создать меняя длину маятника.

Рассмотрим параметрические колебания математического маятника в общем случае, то есть при произвольном характере изменения параметра и больших колебаниях при наличии вязкого трения [14]. Уравнение движения маятника – уравнение динамики вращательного движения:

. (2.38)

Момент импульса:

. (2.39)

На систему действует два момента сил: момент силы тяжести - и момент силы трения –, где– коэффициент трения. Тогда уравнение движения принимает вид:

. (2.40)

Это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка описывает самый общий случай параметрических колебаний. В случае малых колебаний () заменой переменных, где, уравнение приводится к виду:

, (2.41)

где и.

Уравнение (2.41) – дифференциальное уравнение второго порядка с периодическим коэффициентом называется уравнением Хилла.

В частном случае, если:

, (2.42)

где , тои уравнение Хилла можно преобразовать к уравнению Матьё:

. (2.43)

Считая, что затухание отсутствует, и.