K. Бих и ких фильтры

Еще один метод классификации фильтров основан на их импульсной характеристике. Импульсной характеристикой фильтра называется отклик фильтра на импульсный сигнал (x[0] =1 и x[i] = 0, при i  0), как показано на следующей иллюстрации. Фурье преобразование импульсной характеристики называется частотной характеристикой фильтра. Частотная характеристика фильтра говорит о том, каким будет коэффициент усиления фильтра на различных частотах. У идеального фильтра должно быть единичное усиление в полосе пропускания, и нулевое в полосе режекции. Таким образом, все частотные компоненты в полосе пропускания фильтра проходят без изменения, но частотных компонент, попадающих в полосу режекции фильтра, на его выходе нет.

Если импульсная характеристика фильтра спадает до нуля в течение конечного промежутка времени, то такой фильтр называют фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ). Однако если импульсная характеристика фильтра существует бесконечно долго, то такой фильтр называют фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). Конечна ли импульсная характеристика фильтра или нет, зависит от того, как вычисляется выходной сигнал.

Основное различие между КИХ и БИХ фильтрами заключается в том, что для КИХ-фильтров выходной сигнал зависит только от текущих и прошедших входных значений, тогда как выходной сигнал БИХ-фильтра зависит не только от текущих и прошедших входных значений, но и от прошедших выходных значений сигнала.

В качестве примера представьте кассовый аппарат в магазине. Пусть x[k] – будет стоимость k–ой вещи, приобретаемой покупателем, где 1 < k < N, а N – общее число купленных вещей. Кассовый аппарат прибавляет стоимость каждой вещи для выдачи «текущей» суммы. Эта «текущая» сумма y[k] до k-й вещи определяется выражением

y[k] = x[k] + x[k–1] + x[k–2] + x[k–3] + .....+ x[1] (6-2а)

Таким образом, общая стоимость N вещей равна y[N]. Поскольку y[k] – общая стоимость до k-й вещи включительно, а y[k-1] – до (k-1)-й, то уравнение 6-2а можно переписать как

y[k] = y[k-1] + x[k] (6-2b)

Если же вы добавите налог с продаж в 8%, то уравнения 6-2а и 6-2b можно переписать так:

y[k] = 1.08x[k] + 1.08x[k-1] + 1.08x[k – 2] + 1.08x[k – 3] + ... + 1.08x[1] (6-3а)

y[k] = y[k-1] + 1.08x[k] (6-3b)

Обратите внимание, что оба уравнения 6-3а и 6-3b идентичны в описании поведения кассового аппарата. Разница состоит лишь в том, что уравнение 6-3а выражено только через значения входных элементов, тогда как выражение 6-3b содержит как входные, так и выходные значения. Уравнение 6-3а называется нерекурсивным или КИХ реализацией. Уравнение 6-3b называется рекурсивным или БИХ реализацией.

Коэффициенты фильтров

В выражении 6-3а значение константы, умножаемой на каждый член, равно 1.08. В уравнении 6-3b множитель при слагаемом с y[k-1] равен 1, а при слагаемом с x[k] – 1.08. Эти постоянные множители называются коэффициентами фильтров. Для БИХ фильтра эти умножаемые на входные значения коэффициенты называются коэффициентами вперед, а умножаемые на выходные значения – коэффициентами назад.

Уравнения 6-2а, 6-2b, 6-3а и 6-3b, описывающие действие фильтра, называются разностными уравнениями.

Преимущества и недостатки КИХ и БИХ фильтров

Сравнивая КИХ и БИХ фильтры, можно заключить, что преимущество БИХ фильтров над КИХ фильтрами состоит в том, что БИХ фильтрам требуется меньшее число коэффициентов для выполнения схожих операций фильтрации. Таким образом, БИХ фильтры работают намного быстрее и не требуют дополнительной памяти, так как выполняются сразу же.

Недостаток БИХ фильтров состоит в том, что их фазо-частотная характеристика (ФЧХ) является нелинейной. Если в приложении не требуется фазовая информация, как, например, для простого мониторинга сигнала, то для этого вполне подойдет БИХ фильтр. Однако для приложений, требующих линейных фазовых откликов, следует использовать КИХ-фильтры. Кроме того, рекурсивная природа БИХ фильтров усложняет их разработку и применение.