2.6 Хаотические колебания
Хаотические колебания – это неупорядоченные движения, которые возникают в совершенно детерминированных нелинейных динамических системах различной природы и не связаны с действием на эти системы случайных внешних сил, в том числе и случайных шумов. Представляют собой новый класс движений, который связан часто с состоянием, получившим название странный аттрактор.
Аттрактор Лоренца – это трехмерная система нелинейных автономных дифференциальных уравнений первого порядка вида:
, (2.56)
где - параметры.
В результате численного интегрирования системы (2.56) Лоренц обнаружил, что при ,иу этой динамической системы, с одной стороны, наблюдается хаотическое, нерегулярное поведение всех траекторий (рис. 2.8), а, с другой стороны, все траектории притягиваются к некоторому сложно устроенному множеству – аттрактору.
Рис. 2.8 – Зависимость координаты одной из траекторий от времени
Зафиксируем в (2.56) ,и будем увеличивать, начиная с нуля. Присистема Лоренца имеет асимптотически устойчивую в целом стационарную точку – начало координат. К ней притягиваются все траектории (рис. 2.9).
Рис. 2.9 – Траектории системы Лоренца
Когда переваливает через единицу, происходит первая бифуркация. Начало координат теряет устойчивость и от него отделяются две новые устойчивые стационарные точки:
,
. (2.57)
У линеаризованной в нулевой стационарной точке системы два отрицательных и одно положительное собственное значение. В соответствии с этим у нулевой стационарной точки есть двумерный входящий ус и одномерный выходящий (рис. 2.10).
Рис. 2.10 – Траектории линеаризованной системы Лоренца
У линеаризованных в точках исистем все собственные значения отрицательны. При возрастании параметрапара отрицательных собственных значений этих систем превращается в пару комплексно сопряженных собственных значений. Это, в частности, соответствует тому, что выходящие усыG1 и G2 нулевой стационарной точки начинают закручиваться как спирали около стационарных точек и, соответственно (рис. 2.11).
Рис. 2.11 – Траектории системы Лоренца при возрастании
С дальнейшим ростом стационарные точкииподнимаются выше (они лежат в плоскости), а спиралевидные траектории «разбухают». Это происходит до тех пор, пока приспирали, начинающиеся как выходящие усы нуля, попадают на его входящий ус, образуя две гомоклинические траектории Г1 и Г2 (рис. 2.12).
Рис. 2.12 – Гомоклинические траектории системы Лоренца
- Лабораторные работы
- Содержание
- 2 Теоретические сведения по выполняемым
- Введение
- Глава 1 обзор виртуальных лабораторий
- 1.1 Star
- 1.2 Ewb
- 1.3 Simulink
- 1.4 Краткие сведения о пакетах Multisim и Mathcad
- 1.4.1 Multisim
- 1.4.2 Mathcad
- Глава 2 теоретические сведения по выполняемым лабораторным работам
- 2.1 Гармонические осцилляторы
- 2.2 Сложение гармонических колебаний
- 2.3 Ангармонический осциллятор
- 2.4 Параметрические колебания
- 2.5 Нелинейные волны
- 2.6 Хаотические колебания
- Глава 3 экспериментальная часть
- 3.1 Гармонические осцилляторы
- 3.1.1 Лабораторная работа «Исследование гармонических колебаний»
- 3.1.2 Лабораторная работа «Исследование затухающих гармонических колебаний»
- 3.1.3 Лабораторная работа «Исследование частотных свойств резонансных контуров»
- 3.2 Сложение гармонических колебаний
- 3.2.1 Лабораторная работа «Сложение однонаправленных колебаний»
- 3.2.2 Лабораторная работа «Сложение перпендикулярных колебаний»
- 3.3 Ангармонические осцилляторы
- 3.3.2 Лабораторная работа «Осциллятор Ван-дер-Поля»
- 3.4 Лабораторная работа «Параметрические колебания»
- 3.4.1 Лабораторная работа «Исследование параметрического усилителя»
- 3.5 Лабораторная работа «Нелинейные волны»
- 3.5.1 Лабораторная работа «Солитоны»
- 3.6 Лабораторная работа «Хаотические колебания»
- 3.6.1 Лабораторная работа «Осциллятор Лоренца»
- 3.6.2 Лабораторная работа «Генератор шума»
- Заключение
- Литература