2.2 Сложение гармонических колебаний
1. Сложение однонаправленных колебаний.
Сложим два колебания одинаковой частоты, но различных фаз и амплитуд [11].
,
. (2.17)
При наложении колебаний друг на друга:
. (2.18)
Введем новые параметры исогласно уравнениям:
,
. (2.19)
Система уравнений (2.19) легко решается:
, (2.20)
. (2.21)
Таким образом, для окончательно получаем уравнение:
. (2.22)
Итак, в результате сложения однонаправленных колебаний одинаковой частоты получаем гармоническое (синусоидальное) колебание, амплитуда и фаза которого определяется формулами (2.20) и (2.21).
Рассмотрим частные случаи, при которых соотношения между фазами двух складываемых колебаний различны:
а) пусть , тогда;
б) пусть , тогда;
в) пусть , тогда.
Сложим теперь однонаправленные колебания одинаковой амплитуды, одинаковых фаз, но разной частоты:
=. (2.23)
Рассмотрим случай, когда частоты близки друг к другу, т.е. . Тогда приближенно будем считать, что, авеличина малая. Уравнение результирующего колебания будет иметь вид:
. (2.24)
Его график изображен на рис. 2.2. Такое колебание называется биением.
Рис. 2.2 – Биения
Оно осуществляется с частотой , но его амплитуда совершает колебание с большим периодом.
2. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний.
Допустим, что одно колебание осуществляется вдоль оси , другое – вдоль оси. Результирующее движение, очевидно, располагается в плоскости.
Допустим, что частоты колебаний и фазы одинаковы, а амплитуды различны.
,
. (2.25)
Чтобы найти траекторию результирующего движения, нужно из уравнений (2.25) исключить время. Для этого достаточно поделить почленно одно уравнение на другое, в результате получим:
. (2.26)
Уравнение (2.26) показывает, что в данном случае сложение колебаний приводит к колебанию по прямой линии, тангенс угла наклона которой определяется отношением амплитуд.
Пусть фазы складываемых колебаний отличаются друг от друга на 1/2 и уравнение имеют вид:
,
. (2.27)
Чтобы найти траекторию результирующего движения, исключив время, нужно уравнения (2.27) возвести в квадрат, предварительно поделив их на исоответственно, а затем сложить. Уравнение траектории примет вид:
. (2.28)
Это – уравнение эллипса. Можно доказать, что и при любых начальных фазах и любых амплитудах двух складываемых взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты результирующее колебание будет осуществляться по эллипсу. Его ориентация будет зависеть от фаз и амплитуд складываемых колебаний.
Если же складываемые колебания имеют различные частоты, то траектории результирующих движений получаются весьма разнообразными. Только в случае если частоты колебаний по и пократны друг другу, получаются замкнутые траектории. Такие движения можно отнести к числу периодических. В этом случае траектории движений называются фигурами Лиссажу. Рассмотрим одну из фигур Лиссажу, которая получается при сложении колебаний с отношениями частот 1:2, с одинаковыми амплитудами и фазами в начале движения:
;
. (2.29)
Вдоль оси у колебания происходят в два раза чаще, чем вдоль оси . Сложение таких колебаний приведет к траектории движения в виде восьмерки (рис. 2.3).
Рис. 2.3 – Фигура Лиссажу
- Лабораторные работы
- Содержание
- 2 Теоретические сведения по выполняемым
- Введение
- Глава 1 обзор виртуальных лабораторий
- 1.1 Star
- 1.2 Ewb
- 1.3 Simulink
- 1.4 Краткие сведения о пакетах Multisim и Mathcad
- 1.4.1 Multisim
- 1.4.2 Mathcad
- Глава 2 теоретические сведения по выполняемым лабораторным работам
- 2.1 Гармонические осцилляторы
- 2.2 Сложение гармонических колебаний
- 2.3 Ангармонический осциллятор
- 2.4 Параметрические колебания
- 2.5 Нелинейные волны
- 2.6 Хаотические колебания
- Глава 3 экспериментальная часть
- 3.1 Гармонические осцилляторы
- 3.1.1 Лабораторная работа «Исследование гармонических колебаний»
- 3.1.2 Лабораторная работа «Исследование затухающих гармонических колебаний»
- 3.1.3 Лабораторная работа «Исследование частотных свойств резонансных контуров»
- 3.2 Сложение гармонических колебаний
- 3.2.1 Лабораторная работа «Сложение однонаправленных колебаний»
- 3.2.2 Лабораторная работа «Сложение перпендикулярных колебаний»
- 3.3 Ангармонические осцилляторы
- 3.3.2 Лабораторная работа «Осциллятор Ван-дер-Поля»
- 3.4 Лабораторная работа «Параметрические колебания»
- 3.4.1 Лабораторная работа «Исследование параметрического усилителя»
- 3.5 Лабораторная работа «Нелинейные волны»
- 3.5.1 Лабораторная работа «Солитоны»
- 3.6 Лабораторная работа «Хаотические колебания»
- 3.6.1 Лабораторная работа «Осциллятор Лоренца»
- 3.6.2 Лабораторная работа «Генератор шума»
- Заключение
- Литература