Дифференциальные уравнения

Наиболее часто в качестве математической модели объекта управления используются обыкновенные дифференциальные урав­нения, которые могут быть записаны в различной форме.

Линейные многоканальные объекты обычно описывают систе­мой дифференциальных уравнений первого порядка, представлен­ной в векторно-матричном виде:

х = Ах + Ви (2.1.)

Здесь хЄ Rⁿ - вектор состояния, п - порядок объекта; иЄ Rm -вектор управляющих воздействий, т≤п; А - квадратная матрица действительных коэффициентов; В - прямоугольная матрица дей­ствительных коэффициентов. Уравнения (2.1) называют диффе­ренциальными уравнениями состояния.

Выходные переменные объекта изменяются в соответствии с уравнением выхода

У = Сх, (2.2)

где yЄ Rm - вектор выхода; С - прямоугольная матрица действи­тельных коэффициентов. Уравнения (2.1) и (2.2) описывают ли­нейный многоканальный объект.

Для описания одноканального объекта обычно используется скалярное дифференциальное уравнение:

у^(п) + а_пу^﴾n-1) + ... + а₂у + а₁у = bи, (2.3)

которое также может быть приведено к виду (2.1) и (2.2) после со­ответствующего выбора линейно-независимых переменных со­стояния. Их число всегда равно порядку объекта (n), a uЄR¹ и уЄ R¹.

Наиболее простое каноническое описание получается в случае, когда в качестве переменных состояния выбираются выходная пе­ременная у и ее производные до (п -1) включительно

х₁=у, х₂=у,..., х_n=у^(n-1).

При этом вместо (2.3) имеем систему уравнений

которая соответствует векторно-матричным уравнениям (2.1) и (2.2). Здесь матрицы А, В и С имеют вид

Выбрав соответствующие переменные состояния, от описания (2.5) также можно перейти к векторно-матричным уравнениям типа (2.1), (2.2). Рассмотрим этот переход на примере.

Пример 2.2

Записать уравнения состояния объекта с математической моде­лью вида

Таким образом, в качестве основной динамической характе­ристики линейных объектов управления используются диффе­ренциальные уравнения, которые могут быть представлены в форме (2.1), (2.2).

В теории автоматического управления рассматриваются не фи­зические системы управления, а их математические модели, по­этому необходимо стремиться к тому, чтобы эта модель достаточ­но адекватно отражала свойства реального устройства. Процедуру получения математической модели объекта можно разбить на сле­дующие этапы:

Составление гносеологической (мысленной) модели объекта. Исходя из технического задания и изучения режимов работы объ­екта инженер создает приближенную мысленную модель, которая в дальнейшем уточняется и приобретает вид математической модели.

Определение независимых переменных, которые характеризуют объект, и уточнение их размерностей. При этом число управляю­щих воздействий не может быть меньше числа выходных перемен­ных (dim u ≥dim у). Размерность вектора переменных состояния не может быть меньше размерности вектора выходных перемен­ных (dim u ≥ dim y). Размерность возмущающих воздействий М может быть произвольной и никак не связана с размерностью у, х, и.

Запись физических законов, в силу которых развиваются про­цессы в объекте.

Приведение уравнений объекта к удобному с точки зрения тео­рии автоматического управления виду.

Математическая модель никогда не бывает, тождественна рас­сматриваемому объекту, так как при ее составлении всегда делают какие-либо допущения и упрощения. Поэтому для одной и той же системы в зависимости от целей управления модели могут быть различными.

При составлении математической модели приходится искать компромиссный вариант между двумя противоречивыми требова­ниями: с одной стороны, модель должна наиболее полно отражать свойства реальной системы, с другой - быть простой, чтобы не за­труднять исследований.

Перейдем к удобному с точки зрения теории управления описа­нию объекта. При этом выходной величиной будем считать напря­жение на выходе цепи, т. е. y = U₂, управляющим воздействием -напряжение на ее входе (u=U₁), а переменной состояния- ток, протекающий по цепи (х=1). С учетом

Здесь ф - угол отклонения маятника (выходная переменная); U - прикладываемая управляющим двигателем сила (входная пере­менная); s - перемещение каретки; m₁ - масса каретки; L - расстоя­ние между осью и центром тяжести маятника; m₂ - масса маятника; J - момент инерции относительно центра тяжести; g - ускорение си­лы тяжести; Н и V - горизонтальная и вертикальная силы реакции у оси маятника.

Упрощенная модель объекта «каретка - маятник» может быть представлена системой дифференциальных уравнений [9]

Для аналитического определения переходной функции следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных ус­ловиях и единичном входном воздействии.

При исследовании реального объекта переходную характери­стику можно получить экспериментальным путем, подавая на его вход ступенчатое воздействие и фиксируя реакцию на выходе. Ес­ли входное воздействие представляет собой неединичную ступен­чатую функцию u(t)= к1(t), то выходная величина будет равна y(l) = k h(t), т. е. представляет собой переходную характеристику с коэффициентом пропорциональности k.

Зная переходную характеристику, можно вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие с помощью инте­грала свертки

y(t) = h(t)u(t) +∫ h(t - x)u(τ)dτ (2.6)

(τ- переменная интегрирования).