8.1. Операции над циклическими кодами

При описании циклических кодов - разрядные кодовые комбинации представляются в виде полиномов фиктивной переменной . Показатели степени у соответствуют номерам разрядов (начиная с нулевого), а коэффициенты при будут двоичные числа 0 и 1.Например, кодовая комбинация 01011 запишется в виде:

Наибольшую степень в слагаемом с ненулевым коэффициентом называют степенью полинома. Действия над кодовыми комбинациями сводятся к операциям над многочленами.

Сдвиг справа налево (циклический сдвиг) осуществляется путем умножения полинома на множитель x:

G(x) = x⁴ +x²+1 => 0010101;

G(x)x = x⁵+x³+x => 0101010.

2. Операции сложения и вычитания выполняются по модулю 2 и являются эквивалентными (1  1 = 0 и 1 = -1) и ассоциативными:

G₁(x)+G₂(x)=>G₃(x); G₁(x) –G₂(x)=>G₃(x); G₂(x)+G₁(x)=>G₃(x).

Можно при сложении двоичных чисел переносить слагаемые из одной части в другую без изменения знака. Поэтому равенство можно записать как , и как , т.е. а и имеют одинаковую четность. Если:

G₁(x) = x⁵ +x³+x;

G₂(x) = x⁴ +x³ +1 то G₃(x) = x⁵ +x⁴+x+1.

3. Операция деления является обычным делением многочленов, только вместо вычитания используется сложение по модулю 2:

G₁(x) = x⁶+x⁴+x³;

G₂(x) = x³+x²+1.

Результатом деления многочленов является частное Q(x) и остаток R(x).

. Например:

x⁶+x⁴+x³ x³+x²+1 1011000 1101 1100

 x⁶+x⁵+x³ x³ +x²  1101 1100  1101

x⁵ + x⁴ 1100 1100

 x⁵ + x⁴ +x²  1101 11000

x² 100 1100

1011100

 100

1011000

При этом: Q(x)= x³ +x² = 1100; R(x) = x² = 100.

Все операции над циклическими кодами легко реализуются аппаратно на регистрах сдвига с обратными связям.