5. Каскадная реализация фильтра по передаточной функции K(p)

Реализация передаточных функций, обеспечивающих необходимую АЧХ , чаще всего осуществляется по методу каскадно-развязанного включения звеньев 1-го и 2-го порядков. При такой реализации передаточная функция должна быть представлена в виде произведения сомножителей 1-го и 2-го порядка K_i(p):

(5)

Рис.3. Каскадное соединение звеньев

Каждый из сомножителей K_i в выражении (5) реализуется соответствующим звеном. Если звенья не влияют друг на друга. то схема обладает требуемой передаточной функцией n-го порядка.

Передаточную функцию K(p) можно разложить на сомножители, используя различные комбинации постоянных множителей H_i, нулей и полюсов. Вещественные полюса образуют звенья 1-го порядка с передаточной функцией

 , (6)

где B(p)-полином первой степени или единица;-постоянное число.

Комплексно-сопряженные полюсы образуют звенья 2-го порядка с передаточной функцией

, (7)

где В(р)-полином второй или меньшей степени;

и - постоянные коэффициенты.

Для фильтра нижних частот полином В(р) представляет собой единицу.

Для четного порядка n>2 каскадная схема содержит n/2 звеньев второго порядка, каждое с передаточной функцией типа (7). Если порядок n>2 является нечетным, то схема содержит (n-1)/2 звеньев второго порядка с передаточными функциями типа (7) и одно звено первого, порядка с передаточной функцией типа (6).

Для звеньев второго порядка, описываемых функцией (7), определим:

собственную частоту

(8)

и добротность

(9)

Для обеспечения коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания равного единице (0 дБ) необходимо соблюдать условие

 (10)

Так как операционные усилители обладают большим входным и малым выходным сопротивлениями, то звенья, построенные с их применением, практически не влияют друг на друга.

Реализация передаточных функций первого порядка для фильтров нижних частот

Для фильтров нижних частот нечетного порядка одно звено должно обладать передаточной функцией первого порядка.

Звено ФНЧ первого порядка должно реализовывать передаточную функцию вида:

(11)

Для реализации звена первого порядка можно использовать инвертирующий усилитель. На рис.4 изображена схема звена ФНЧ первого порядка с инвертирующим операционным усилителем. Передаточная функция такого звена имеет вид

(12)

Сопоставляя формулы (11) и (12), получаем расчетные соотношения (при выбранном нормированном значении емкости С)

Рис.4. Звено ФНЧ первого порядка с инвертирующим ОУ

Реализация передаточных функций второго порядка для фильтров нижних частот

Для звена фильтра нижних частот второго порядка типовая передаточная функция имеет вид

(13)

На рис.5 изображено звено второго порядка, собранное по схеме с многопетлевой обратной связью (МОС). Эта схема реализует передаточную функцию с инвертирующим коэффициентом усиления (К<0) и параметрами

Рис.5. Звено ФНЧ второго порядка с МОС

Выбрав значения С₁ и С₂ можно рассчитать сопротивления:

Значения емкостей С₁ и С₂ должны быть нормированными и в результате расчета давать положительное значение сопротивления R₂. Это условие выполняется, если

Схему с МОС целесообразно применять при добротностях, не превышающих 10.

При реализации звеньев второго порядка с добротностями выше 10 нужно применять более сложные схемы, например, так называемую биквадратную схему (рис.6). Такая схема реализует значения добротности вплоть до 100. Биквадратное звено ФНЧ реализует передаточную функцию (13) при неинвертирующем коэффициенте усиления и параметрах

H=1/R₁R₄C₁²; =1/R₂C₁; =1/R₃R₄C₁².

Рис.6. Биквадратное звено ФНЧ второго порядка

Значения сопротивлений определяются из следующих соотношений:

R₁=1/HC₁²R₄; R₂=1/C₁; R₃=1/R₄C₁²,

где С₁ и R₄ выбираются. Если значение С₁ выбрано близким к 10, то приемлемое значение R₄=1/C₁.

Тогда получаем:

R₁=R₄/H; R₂=R₄/; R₃=R₄/.