Синтез фильтров по аналоговому прототипу

При синтезе дискретного фильтра по аналоговому прототипу необходимо преобразовать функцию передачи аналогового фильтра H(s) в функцию передачи дискретного фильтра H(z). Получающийся дискретный фильтр не может быть полностью идентичен аналоговому по своим характеристикам — хотя бы потому, что частотные характеристики дискретного фильтра являются периодическими. Можно говорить только об определенном соответствии характеристик аналогового и дискретного фильтров. Поскольку теория аппроксимации идеальных АЧХ аналоговыми средствами хорошо развита, методы синтеза дискретных фильтров по аналоговым прототипам получили широкое распространение.

В данном разделе мы рассмотрим два метода синтеза рекурсивных дискретных фильтров по аналоговым прототипам:

Метод инвариантных импульсных характеристик.

В основе этого - простейшего метода синтеза ЦФ лежит предположение о том, что синтезируемый ЦФ должен обладать импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа.

Метод инвариантного преобразования ИХ предполагает расчет дискретного фильтра, ИХ которого представляет собой дискретизированную ИХ фильтра-прототипа. Дискретизация временной функции, как известно, приводит к тому, что спектр функции делается периодическим с периодом, равным частоте дискретизации. Поэтому при переходе от непрерывной ИХ к дискретной ИХ частотная характеристика фильтра начинает периодически повторяться со сдвигом, равным частоте дискретизации f₂. Если частота f₂ установлена достаточно высокой в сравнении с характерными частотами ЧХ фильтра-прототипа, то тогда дискретный фильтр по своим свойствам будет соответствовать непрерывному фильтру-прототипу.

Имея в виду синтез физически реализуемых систем, для которых импульсная характеристика обращается в нуль при t < 0, получим следующее выражение импульсной характеристики ЦФ:

{h_k}=(h(0), h(Δ), h(2Δ)) (*)

Следует обратить внимание на то, что число отдельных членов в выражении импульсной характеристики ЦФ может быть как конечным, так и бесконечным. Это определяет структуру синтезируемого фильтра: импульсной характеристике с конечным числом отсчетов отвечает трансверсальный фильтр, в то время как для реализации неограниченно протяженной импульсной характеристики требуется рекурсивный ЦФ.

Частотная характеристика получаемого фильтра связана с частотной характеристикой аналогового прототипа точно так же, как спектр дискретизированного сигнала связан со спектром сигнала аналогового — периодическим повторением. Поэтому для получения хороших результатов при таком методе синтеза коэффициент передачи аналогового прототипа должен быть пренебрежимо малым на частотах, превышающих частоту Найквиста. Отсюда следует также, что этот метод подходит для создания ФНЧ и полосовых фильтров, но непригоден для синтеза ФВЧ и режекторных фильтров.

В качестве примера синтезируем методом инвариантной импульсной характеристики ФНЧ Чебышева 2-го порядка с частотой среза 10 кГц, причем специально выберем недостаточно высокую частоту дискретизации (48 кГц), чтобы хорошо видеть эффекты, связанные с наложением сдвинутых копий спектра (рис. 6.2):

Рис. 6.2. АЧХ аналогового прототипа (пунктир) и дискретного фильтра (сплошная линия), синтезированного методом инвариантной импульсной характеристики

На рисунке хорошо видно, что из-за недостаточно высокой частоты дискретизации коэффициент передачи аналогового фильтра на частоте Найквиста недостаточно мал, что обусловливает заметные искажения формы АЧХ синтезированного дискретного фильтра. Повышение частоты дискретизации позволяет сделать эти искажения пренебрежимо малыми.

Степень приближения амплитудно-частотной характеристики синтезированного ЦФ к характеристике аналогового прототипа зависит от выбранного шага дискретизации Δ. При необходимости следует вычислить частотный коэффициент передачи ЦФ, осуществив в системной функции H(z) замену переменной по формуле z=exp(jωΔ), и затем сравнить результат с частотным коэффициентом передачи аналоговой цепи.

Пример

Рассмотреть синтез трансверсального цифрового фильтра, подобного динамической системе 1-го порядка (например, интегрирующей RC-цепи) с импульсной характеристикой вида

(несущественный для задачи синтеза амплитудный множитель в импульсной характеристике положен равным единице).

Пусть импульсная характеристика апроксимируется последовательностью из трех равноотстоящих отсчетов:

Трансверсальный ЦФ с такой импульсной характеристикой описывается разностным уравнением

Применив z-преобразование к последовательности , находим системную функцию ЦФ

откуда частотный коэффициент передачи

Пример

Рассмотреть случай, когда импульсная характеристика аналоговой цепи аппроксимируется бесконечной дискретной последовательностью

()

Выполнив z-преобразование импульсной характеристики (), получим системную функцию

()

Данной системной функции отвечает рекурсивный ЦФ 1-го порядка, содержащий, помимо сумматора, один масштабный блок и один элемент задержки.

Частотный коэффициент передачи фильтра

Метод инвариантных частотных характеристик (билинейного преобразования).

Принципиально невозможно создать ЦФ, частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что, как известно, частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации (рис.).

Рис. . Амплитудно-частотные характеристики фильтров:

а — аналогового; 6 — цифрового

Говоря о подобии (инвариантности) частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров, можно требовать лишь то, чтобы весь бесконечный интервал частот ω_а, относящихся к аналоговой системе, был преобразован в отрезок частот ω_ц цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству

-π/Δ<ω_ц< π/Δ

при сохранении общего вида АЧХ.

Пусть K_а(p) — передаточная функция аналогового фильтра, задаваемая дробно-рациональным выражением по степеням комплексной частоты р. Если воспользоваться связью между переменными z и р:

z = exp(pΔ),

то можно записать

p = (1/ Δ) ln z (чч)

Однако с помощью этого закона связи нельзя получить физически реализуемую системную функцию ЦФ, поскольку подстановка (чч) в выражение Ks(p) приведет к системной функции, не выражающейся в виде частного двух многочленов. Требуется найти такую дробно-рациональную функцию от z, которая обладала бы основным свойством преобразования (чч), а именно переводила бы точки единичной окружности, лежащей в плоскости z, в точки мнимой оси на плоскости р.

Среди прочих способов для синтеза фильтров нижних частот получила распространение связь вида

(15.97)

устанавливающая однозначное соответствие между точками единичной окружности в z-плоскости со всей мнимой осью в р-плоскости. Характерная особенность этого закона преобразования состоит в следующем. Пусть в (15.97) выполнена замена переменной

z = exp( j ω_ц Δ ),.

Тогда

откуда вытекает соотношение между частотными переменными соа и соц аналоговой и цифровой систем:

(15.98)

Если частота дискретизации достаточно велика (ω_цΔ <<1), то, как легко видеть из формулы (15.98), . Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают. В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по оси частот цифрового фильтра, описываемого формулой (15.98).

Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в функции Кл(р) аналоговой цепи выполняется замена переменной по формуле (15.97). Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации.

Пример

Синтезировать цифровой фильтр с частотной характеристикой, подобной характеристике аналогового ФНЧ. Частота среза для ЦФ ω_сц = 1500 с^-1. Частота дискретизации ω_д = 10000 с^-1.

Прежде всего определяем шаг дискретизации

Для получения дискретного фильтра с заданными частотами среза необходимо скорректировать частоты среза аналогового прототипа, чтобы компенсировать искажения частотной оси. Так, для синтеза дискретного ФНЧ с частотой среза се>од аналоговый фильтр-прототип должен иметь частоту среза Юо_а, связанную с со₀д следующим образом:

По формуле (15.98) находим частоту среза аналогового фильтра, подобного синтезируемому ЦФ:

Передаточная функция аналогового ФНЧ

К_а(р)

Выполнив в замену переменной вида (15.97), находим системную функцию ЦФ:

H(z)

Рис. 60. Амплитудно-частотные характеристики фильтра-прототипа (1} и синтезированных БИХ-фильтров (2-5)

Сравнивая кривые 1 и 2, видим, что наложение спектров, характерное для дискретного фильтра(инвар мет), приводит к ухудшению вида АЧХ фильтра в сравнении с фильтром-прототипом. Однако это ухудшение будет тем меньше, чем больше отношение частоты дискретизации f₂=1/T₂ к частоте среза фильтра f_c. В данном случае f₂/fс=10. Если, например, выбрать f₂/f_c=20, то тогда получим для дискретного фильтра АЧХ, представленную кривой 3 на рис. 60. Эта кривая заметно ближе к кривой 1 (АЧХ фильтра-прототипа), чем кривая 2.

Из сравнения АЧХ дискретного БИХ-фильтра, рассчитанного методом инвариантного преобразования ИХ (кривые 2 и 3 на рис. 60), и БИХ-фильтра, найденного методом билинейного преобразования (кривая 4), видно, что второй метод дает меньшие значения АЧХ в полосе заграждения. Это объясняется отсутствием здесь эффекта наложения спектров, характерного для метода инвариантного преобразования ИХ.

Вместе с тем сравнение кривых 1 и 4 на рис. 60 дает основание сделать вывод, что метод билинейного преобразования приводит к некоторому изменению масштаба по оси частот: у дискретного фильтра спад АЧХ наступает раньше, чем у непрерывного фильтра-прототипа. Соотношение между частотой f непрерывного фильтра и частотой f_n дискретного фильтра можно найти из равенства (330)

Итак, метод инвариантного преобразования импульсной характеристики сохраняет масштаб графика АЧХ по горизонтальной оси (оси частот), но дает искажения по вертикальной оси вследствие эффекта наложения. Что же касается метода билинейного преобразования, то здесь картина обратная: по вертикальной оси график не искажается, но происходит деформация графика на горизонтальной оси. Зная характер этой деформации, можно заранее внести соответствующие изменения в ЧХ фильтра-прототипа для того, чтобы получить желаемый результат.

Частотные преобразования дискретных БИХ-фильтров

Частотные преобразования дискретных БИХ-фильтров — это преобразования, позволяющие по передаточной функции дискретного фильтра нижних частот найти передаточные функции, других видов фильтров. Такие преобразования выполняются достаточно просто: вместо оператора z в передаточную функцию дискретного фильтра нижних частот подставляется соответствующее выражение. При этом могут выполняться, следующие преобразования.

ФНЧ — ФНЧ.

Если ФНЧ с частотой среза f_c1 требуется преобразовать в ФНЧ с частотой среза f_c2 , то можно использовать подстановку

; .

ФНЧ—ФВЧ

ФНЧ с частотой среза f_с1 преобразуется в ФВЧ с частотой среза f_с2 с помощью подстановки

; .

ФНЧ — ФПП.

Для преобразования ФНЧ с частотой среза f_С в полосно пропускающий фильтр с частотами среза (верхней к нижней) f_В и f_Н рекомендуется подстановка

;

; .

ФНЧ — ФПЗ

Исходя из ФНЧ с частотой среза f_с можно получить полосно заграждающий фильтр с частотами среза (верхней и нижней) f_В и f_Н с помощью подстановки

;

; .

Применяя данные подстановки, можно преобразовать передаточные функции спроектированных выше дискретных ФНЧ в передаточные функция дискретных ФВЧ, ФПП, ФПЗ.

Прямые методы синтеза

Название «прямые методы» означает, что в данном случае не используется аналоговый прототип. Исходными данными для синтеза служат какие-либо параметры фильтра (чаще всего — его АЧХ), которые могут задаваться, вообще говоря, произвольно.

Синтез с использованием окон(Метод взвешивания)

Данный метод предназначен для синтеза нерекурсивных фильтров. Идея его очень проста. Прежде всего находят желаемый комплексный коэффициент передачи в виде непрерывной функции, определенной в диапазоне частот от нуля до частоты Найквиста (если синтезируется вещественный фильтр) или до частоты дискретизации (если проектируется комплексный фильтр). Обратное преобразование Фурье этой характеристики, вычисленное с учетом ее периодического характера, даст бесконечную в обе стороны последовательность отсчетов импульсной характеристики. Для получения реализуемого нерекурсивного фильтра заданного порядка эта последовательность усекается — из нее выбирается центральный фрагмент нужной длины, т.е импульсную характеристику этого БИХ-фильтра g_бих (t) умножают на усредняющее окно g₀(t) и находят импульсную характеристику проектируемого КИХ-фильтра g_ких(t):

g_ких(t) = g _бих (t) * g0(t). (312)

Из-за усечения первоначально заданная частотная характеристика искажается.

Умножению импульсных характеристик соответствует свертка частотных характеристик (ЧХ). Если мы хотим, чтобы характеристика, получаемая в результате свертки характеристик БИХ-фильтра и окна, как можно меньше отличалась от ЧХ БИХ-фильтра, то необходимо, чтобы ЧХ окна была по форме близка к δ-импульсу δ(f). Именно такие требования и предъявлялись к ЧХ усредняющих окон: мы считали, что окно тем лучше, чем уже основной лепесток ЧХ в районе нулевой частоты и чем меньше амплитуда боковых лепестков.

Простое усечение последовательности отсчетов импульсной характеристики соответствует использованию прямоугольного окна. В результате появляются переходные полосы между областями пропускания и задерживания, наблюдаются колебания коэффициента передачи в полосах пропускания, а в полосах задерживания АЧХ приобретает лепестковый характер.

Для ослабления перечисленных эффектов и прежде всего для уменьшения уровня лепестков в полосах задерживания усеченная импульсная характеристика умножается на весовую функцию (окно), плавно спадающую к краям.

В качестве исходных БИХ-фильтров, обладающих требуемыми частотными характеристиками, можно использовать идеальные фильтры. Амплитудно-частотные характеристики идеальных дискретных фильтров показаны на рис. 56. Вид приведенных на этом рисунке кривых определяется следующими обстоятельствами. Во-первых, у идеального фильтра равна нулю ширина переходной зоны между полосой пропускания и полосой заграждения, поэтому все АЧХ на рис. 56 имеют вид прямоугольных импульсов в частотной области. Во-вторых, у фильтров, имеющих вещественную импульсную характеристику, АЧХ обладает четной симметрией. И наконец, в-третьих, АЧХ дискретного фильтра периодически повторяется с периодом, равным частоте дискретизации. Два последних свойства обусловливают четную симметрию АЧХ в частотном промежутке 0— F_s относительно средней частоты F_s/2 .

Рис. 56. Амплитудно-частотные характеристики идеальных дискретных фильтров: нижних частот (а), верхних частот (б), полосно-пропускающего (в)

Импульсные характеристики, соответствующие идеальным БИХ-фильтрам, можно найти с помощью обратного преобразования Фурье. Периодическим частотным характеристикам, показанным на рис. 56, соответствуют дискретные импульсные характеристики. Для ФНЧ с частотой среза f_с (рис. 56, а) импульсная характеристика имеет вид

(313)

Импульсная характеристика ФВЧ, полоса пропускания которого шириной f_ш располагается от F_s/2 - f_ш/2 до F_s/2 + f_ш/2 (рис. 56,6), имеет вид

(314)

т.е. центр полосы пропускания расположен на 0,5 F_s.

Наконец, для полосно-пропускающего фильтра (ППФ), у которого центральная частота полосы пропускания равна f_ц, а ширина этой полосы равна f_ш (рис. 56, в), импульсная характеристика описывается формулой

(315)

Рассмотрим два примера проектирования дискретных КИХ-фильтров: фильтра нижних частот и фильтра верхних частот.

Пусть проектируемый ФНЧ имеет частоту среза f_c = 1 кГц. Выберем частоту дискретизации F_s равной 4 кГц. Импульсная характеристика идеального БИХ-фильтра для данного случая показана на рис. 57, а, а его ЧХ—на рис. 57,б. Для взвешивания импульсной характеристики используем окно с числом импульсов N, равным 16 (рис. 57,в), например окно Хана

.

Частотная характеристика, соответствующая этому окну, показана на рис. 57, г.

Рис. 57. Весовые функции идеального БИХ-фильтра нижних частот (а), усредняющего окна (в), синтезированного КИХ-фильтра (д) и соответствующие им АЧХ (б, г, е)

Далее нам нужно перемножить импульсные характеристики рис. 57, с и б; это будет соответствовать свертке ЧХ рис. 57, б и г. При операции свертки одна из частотных характеристик сдвигается по частоте относительно другой, затем они перемножаются и определяется интеграл этого произведения. Если принять во внимание эти действия, то тогда станет понятно, что ширина основного лепестка ЧХ окна определяет ширину переходной зоны между полосами пропускания и заграждения проектируемого фильтра, а уровень боковых лепестков ЧХ окна определяет пульсации ЧХ этого фильтра в полосе пропускания и в полосе заграждения.

В нашем случае импульсная характеристика исходного идеального БИХ-фильтра определяется по формуле (313) при подстановке в нее

(315)

где n — номер импульса (n изменяется от 0 до N —1).

Произведя операцию взвешивания с помощью окна, получим g_ких(n)=g _бих(n)*g0(n). Полученная ВФ показана на рис. 57, д. АЧХ спроектированного фильтра может быть найдена с помощью ДПФ.

Эта АЧХ в данном случае имеет вид такой, как показано на рис. 57, е. В промежутке от f = 0 до f = 0,7 кГц отклонение АЧХ от единичного значения не превышает 0,24 дБ, а в промежутке f = 1,42,6 кГц АЧХ не превосходит значения — 50 дБ. Если требуется, чтобы АЧХ фильтра была более близка к оптимальной, этого можно достигнуть, увеличивая число импульсов ВФ N (в рассмотренном примере N = 16).

Спроектируем теперь ФВЧ с полосой пропускания выше частоты f = 1,5 кГц. Выберем, как и раньше, частоту дискретизации f₂, равную 4 кГц. АЧХ идеального БИХ-фильтра для данного примера показана штриховой линией на рис. 58, с. Будем теперь использовать для взвешивания окно Хэмминга

.

Рис. 58. Частотная характеристика (а) и весовая функция (б) КИХ-фильтра верхних частот

При конструировании дискретного КИХ-фильтра верхних частот необходимо выбирать нечетное число импульсов ВФ N. Это объясняется тем обстоятельством, что при четном N значение АЧХ при f = f₂/2 всегда равно нулю.

А в случае фильтра верхних частот при f = f₂/2 мы должны получить значение приведенной АЧХ, равное единице (рис. 58,а). Используя формулы окна Хэмминга, (312), (314) и (316), для проектируемого фильтра получаем

(317)

g_ких(n) = g _бих (n) g0(n).

Выберем N = 15. Эта весовая функция КИХ-фильтра показана на рис. 58, б, а соответствующая ей АЧХ представлена сплошной кривой на рис. 58, а. Эта АЧХ найдена с помощью ДПФ.

Однако величина боковых лепестков собственного спектра окна не совпадает с величиной лепестков АЧХ фильтра, синтезированного с применением данного окна.

Однако следует помнить о том, что уменьшение уровня боковых лепестков неизбежно приводит к расширению переходной зоны между полосами пропускания и задерживания. Поэтому выбирать весовую функцию следует исходя из требований, предъявляемых к параметрам фильтра.

Метод частотных выборок

Метод частотных выборок предполагает использование обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ) для определения весовых коэффициентов КИХ-фильтра. ДПФ, как известно, позволяет найти равноотстоящие отсчеты спектра ограниченного по времени дискретизированного сигнала. Обратное ДПФ в свою очередь позволяет найти отсчеты сигнала, которые соответствуют заданным отсчетам спектра. Таким образом, мы можем взять желаемую частотную характеристику проектируемого КИХ-фильтра, найти равноотстоящие выборки этой характеристики и затем по ним найти отсчеты импульсной характеристики (весовые коэффициенты) фильтра. Так можно спроектировать фильтр, ЧХ которого гарантированно пройдет через заданные равноотстоящие точки. Однако между этими точками совпадение желаемой и реальной частотных характеристик не гарантируется.

Покажем на примерах, как производится проектирование дискретных КИХ-фильтров методом частотных выборок.

Спроектируем фильтр нижних частот, такой же, как был в примере при рассмотрении метода взвешивания (см. рис. 57, т.е. F_s=4кГц). Желаемая идеальная АЧХ проектируемого фильтра показана штриховой линией на рис. 59, а. Пусть проектируемый КИХ-фильтр будет иметь импульсную характеристику, состоящую из 16, импульсов (N=16).

На идеальной ЧХ, показанной на рис. 59, а, берем выборки, соответствующие частотам , где f_s — частота дискретизации. В нашем случае f_s = 4 кГц и выборки ЧХ будут иметь значения G_Д(0)-…- G_Д(7)= 1; 1; 1; 1; 0,5; 0; 0; 0. Так как ЧХ обладает симметрией относительно , то достаточно взять только N/2=8 выборок.

Следует обратить внимание на то, что выборка, соответствующая частоте f=l кГц (k = 4), попадает на вертикальный спад АЧХ и поэтому мы берем значение G_Д(4) равным 0,5, т. е. полусумме значений ЧХ при подходе слева в справа к данной частоте.

Далее нужно воспользоваться формулой обратного ДПФ для того, чтобы во частотным выборкам G(k) найти отсчеты импульсной характеристики g(n). Здесь подходит любая из двух формул (105) или (109). Этя формулы были выведены в § 14 применительно к ДПФ симметричных сигналов. Импульсные же характеристики проектируемых КИХ-фильтров как раз и представляют собой четно-симметричные функции времени. Отметим, что если бы мы решили проектировать КИХ-фильтр нижних частот с нечетным числом импульсов N, то тогда нужно было бы применять одну из формул (107) или (111).

Рис. 59. Графики, поясняющие метод синтеза КИХ-фильтров, основанный на применении частотных выборок

Применим в нашем случае формулу (105). Тогда

,

и мы получим g(0)…g(7) = -0,070; -0,215; 0,378; 0,580; -0,862; -1,323; 2,331; 7,179 (рис. 59,6).

Частотная характеристика, соответствующая этой весовой функции; найденная по формуле (251), показана сплошной линией на рис. 59, а. Эта линия проходит через точки на идеальной частотной характеристике, которые мы использовали в качестве частотных выборок. В промежутках между этими точками ход реальной ЧХ описывается формулой (322).

Спроектируем теперь методом частотных выборок КИХ-фильтр верхних частот с полосой пропускания от 1,5 кГц до f_s/2 = 2 кГц. В качестве исходной берем идеальную частотную характеристику, показанную штриховой линией на рис. 59, в. Выберем f₁=f_s/16. Тогда отсчеты идеальной ЧХ равны следующим значениям: G(0) = ... = G(5)==0; G(6) =… = G(10)=0,5; G(7)=G(8)=G(9)=1. Для нахождения весовых коэффициентов КИХ-фильтра можно воспользоваться формулами обратного дискретного преобразования Фурье (107) или (111). Именно для этих вариантов ДПФ обеспечивается четная симметрия отсчетов ЧХ относительно частоты f₂/2, что и требуется в случае фильтра верхних частот.

Выберем Т₂= Т₁/(N-1) и соответственно этому применим формулу (111). Тогда при N=17 и учитывая значения частотных выборок, получим соотношение

По этому соотношению находим g(0)…g(8) = 0; 0,141; -0,414; 0,473; 0; -1,058; 2,414; -3,555; 4 (рис. 59,г). Найденная по формуле (252) ЧХ для этого фильтра имеет вид, показанный на рис. 59, в сплошной линией. Как и в предыдущем примере, эта ЧХ проходит через точки, соответствующие использованным в расчете выборкам идеальной ЧХ, а в промежутках между этими точками ход ЧХ описывается формулой (322).

Ход частотной характеристики дискретного фильтра в промежутках между известными равноотстоящими точками

Пусть весовые коэффициенты (отсчеты импульсной характеристики) КИХ-фильтра равны g(n), где n=0…N-1, и отсчеты эти располагаются по времени симметрично относительно t=0; при этом моменты отсчетов описываются формулой (316)

Частотная характеристика фильтра G(f) - это преобразование Фурье его импульсной характеристики. В данном случае

(318)

Используя формулу обратного дискретного преобразования Фурье (92), находим

(319)

В нашем случае коэффициент а, показывающий положение начального импульса последовательности g(n), определяется соотношением а = -(N-1)/2. Частота f₁ входящая в (319), —это величина, обратная длительности импульсной характеристики f₁=1/T₁. Учитывая эти соотношения и формулу (317), подставляем (319) в (318). В результате получаем

(320)

Меняя порядок суммирования и вводя обозначение G(kf₁)= G_Д(k), преобразуем это соотношение:

(321)

Внутреннюю сумму в (321) можно определить как сумму геометрической прогрессии по формуле . В результате после несложных преобразований получим окончательно

. (322)

Соотношение (322) дает возможность определить ход ЧХ КИХ-фильтра в промежутках между равноотстоящими выборками G(kf₁).