Представление непрерывных (аналоговых) сигналов в дискретной форме

Сигналы с ограниченным спектром

Множество важных положений из теории цифровой обработки сигналов, теории передачи данных и др. опираются на предположение о том, что сигналы имеют ограниченный спектр, т.е. строго ограниченную полосу частот – это означает, что за пределами определенной полосы частот мощность спектральных составляющих сигнала равна нулю.

Но для реальных, конечных во времени, сигналов такое утверждение требует некоторых допущений, которые хотя и приводят к искажению сигнала, но достаточно малых, что бы ими пренебречь.

Рассмотрим идеальный НЧ-сигнал спектральная плотность которого определяется

следующим выражением

Рисунок - Спектр идеального НЧ-сигнала

Мгновенные значения во времени такого сигнала определяются через обратное преобразование Фурье

Рисунок - Мгновенные значения во времени идеального НЧ-сигнала

Т.е. сигналы с ограниченным спектром имеют бесконечную длительность во времени (минус плюс бесконечность).

А сигналы с конечной длительностью имеют бесконечный спектр, т.к. преобразование Фурье от прямоугольного импульса дает бесконечный спектр(ранее рассматривалось).

Рисунок Дуальность характеристик продолжительности сигнала во времени и спектре

В любой реальной системе есть некоторый уровень помех и шумов, а также допустима некоторая величина искажений сигнала, что позволяет определить сигнал с ограниченной полосой спектра следующим образом

У сигнала с ограниченным спектром амплитуда частотных составляющих выше некоторой стремится к нулю, или значительно ниже шумов и помех, или, по крайней мере, значительно ниже основных частотных составляющих сигнала.

Т.е. можно считать, что сигнал с ограниченной длительностью может иметь ограниченный спектр с практической точки зрения.

Рисунок Ограниченный во времени сигнал и его спектр с практической точки зрения

Величина искажений сигнала при переводе его в дискретную форму пропорциональна величине составляющих сигнала выходящих за пределы заданной полосы.

Критерии определения ширины спектра конечного во времени сигнала

Рисунок Типовая СПМ конечного во времени сигнала близкого к прямоугольному

а) Ширина полосы половинной мощности – это интервал между частотами, на которых СПМ падает до мощности, вдвое (-3дБ) ниже максимального значения.

б) Ширина полосы по первым нулям – это интервал между частотами, на которых достигается первый минимум функции СПМ.

В основном лепестке спектра практически вся мощность сигнала. Но этому критерию недостает универсальности, т.к у некоторых сигналов отсутствуют четко выраженный лепестки спектра.

в) Ширина полосы вмещающая заданную часть суммарной мощности сигнала - это интервал между частотами, который содержит заданную часть мощности сигнала, например 99% и по 0,5% слева и справа вне полосы – критерий Федеральной комиссии по средствам связи США.

г) СПМ по заданному уровню – указывается за пределами, какой полосы СПМ должна опустится ниже заданного уровня относительно максимального уровня. Типичными являются значения минус 35 или минус 50 дБ.

Теорема о дискретном равномерном представлении непрерывного сигнала

Математически процесс определения значения сигнала в указанной точке описывается следующим выражением

т.к. называемое фильтрующее свойство дельта-функции.

Аппаратно реализуется устройством выборки хранения (УВХ) аналого-цифрового преобразователя (АЦП).

Рисунок УВХ

Базовая операция для превращения непрерывного сигнала в дискретную форму - дискретизация.

Результатом процесса дискретизации является сигнал с амплитудно-импульсной модуляцией.

Рисунок Представление сигнала в дискретной форме – АИМ

Такое название возникло потому, что выходной сигнал УВХ можно описать как последовательность импульсов с амплитудами сигнала в момент выборок.

Исходный непрерывный сигнал можно восстановить из АИМ путем прохождения последнего через восстанавливающий фильтр, при определенных ограничениях, которые формулируются в теореме о равномерном дискретном представлении (теорема Шеннона-Котельникова, критерий Найквиста).

Сигнал с ограниченной полосой, не имеющий спектральных составляющих с частотами, которые превышают , однозначно определяется значениями, выбранными через равные промежутки времени

иначе

Это утверждение доказывается строго, но вначале его можно пояснить простым примером

Рисунок

Критерий выбора частоты дискретизации с учетом эффекта наложения

Практический критерий

Компактный \ некомпактный спектр.

Для любого ограниченного во времени сигнала, спектр неограничен (хотя может быть весьма мал выше). Для исключения перекрытия спектров производится удаление спектральных составляющих сигнала (предварительная фильтрация сигнала) с частотой выше , т.е. процесс дискретизации всегда вносит некоторые искажения, величина которых определяется отношением .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ДИСКРЕТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ (Столлингс)

Теорему о дискретном представлении можно сформулировать следующим образом. Если

x(t) — сигнал с ограниченной полосой f_h,

p(t) — выборочный сигнал, состоящий из импульсов, взятых через интервал ,где — частота дискретизации,

x_s(t) = x(t)p(t) — дискретный сигнал,

то сигнал x(t) можно восстановить непосредственно из сигнала x_s(t) тогда и только тогда, когда f_s>2f_h.

Доказательство

Поскольку сигнал p(t) состоит из равномерной последовательности импульсов, то он является периодическим сигналом и может быть представлен в виде ряда Фурье:

Получаем

Рассмотрим теперь Фурье-образ функции :

Подставляя выражение для , имеем

После упрощения получаем

Исходя из определения преобразования Фурье, можем записать следующее:

,

где — Фурье-образ функции x(t).

Подставив это в предыдущую формулу, получим

.

Последняя формула имеет интересную интерпретацию, представленную на рис. 6.22, где мы предполагали, не нарушая общности, что полоса сигнала x(t) лежит в диапазоне от 0 до f_h. Спектр сигнала x_s(t) состоит из спектра сигнала x(t) и спектра, который получается из спектра сигнала x(t) при переносе каждой гармоники на несущую частоту. Каждый из перенесенных спектров умножается на соответствующий коэффициент ряда Фурье для p(t).

Рис. 6.22. Иллюстрация к теореме о дискретном представлении(дорисовать спектр периодически повторяющихся дельта функций)

Если f_s > 2f_h, то эти перенесенные спектры не перекрываются, а спектр сигнала x(t) умножается на коэффициент Р₀, входящий в X_s(f).

Восстановление спектра исходного сигнала x(t) произойдет при передаче сигнала через фильтр который сможет отделить одну из периодически повторяющихся копий спектра исходного сигнала. Обычно выделяется копия лежащая на нулевой частоте.

Дискретное преобразование Фурье

Рассмотрим, что представляет собой спектр дискретного периодического сигнала.

Итак, пусть последовательность отсчетов {x(k)} является периодической с периодом N:

x(k + N) = x(k) для любого k.

Такая последовательность полностью описывается конечным набором чисел, в качестве которого можно взять произвольный фрагмент длиной N, например {x(k), k = 0, 1,..., N - 1}. Поставленный в соответствие этой последовательности сигнал из смещенных по времени дельта-функций:

(1)

также, разумеется, будет периодическим с минимальным периодом .

Так как сигнал (1) является дискретным, его спектр должен быть периодическим с периодом .

Так как этот сигнал является также и периодическим, его спектр, должен быть дискретным с расстоянием между гармониками, равным .

Итак, периодический дискретный сигнал имеет периодический дискретный спектр, который также описывается конечным набором из N чисел (один период спектра содержит гармоник).

Рассмотрим процедуру вычисления спектра периодического дискретного сигнала. Так как сигнал периодический, будем раскладывать его в ряд Фурье.

Коэффициенты Х(п) этого ряда, согласно общей формуле , равны

(2)

Замечание: ; ;

Таким образом, формула для вычисления комплексных амплитуд гармоник представляет собой линейную комбинацию отсчетов сигнала.

В выражении (2) реальный масштаб времени фигурирует только в множителе 1/T перед оператором суммирования. При рассмотрении дискретных последовательностей обычно оперируют номерами отсчетов и спектральных гармоник без привязки к действительному масштабу времени и частоты. Поэтому множитель 1/Т из (5.2) удаляют, то есть считают частоту дискретизации равной единице. Удаляют обычно и множитель 1/N (об этом см. замечание ниже). Получившееся выражение называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ; английский термин — Discrete Fourier Transform, DFT):

(3)

Существует и обратное дискретное преобразование Фурье. Переход от дискретного спектра к временным отсчетам сигнала выражается следующей формулой:

(4)

Это выражение отличается от формулы прямого ДПФ (5.3) лишь знаком в показателе комплексной экспоненты и наличием множителя 1/N перед оператором суммирования.

ЗАМЕЧАНИЕ -----------------------------------------------------------------------------------

В размещении множителя 1/N в формулах (5.3) и (5.4) нет полного единства. В большинстве источников, среди которых [1, 4, 8], а также в математических пакетах компьютерных программ (в том числе и в MATLAB) этот множитель фигурирует в формуле обратного ДПФ (5.4) (этот вариант принят и в данной книге). В то же время в учебнике [2] этот множитель включен в формулу прямого ДПФ (5.3).