Исследование спектра дискретного случайного процесса

Если анализируемый сигнал представляет собой случайный процесс, то простое вычисление ДПФ обычно не представляет большого интереса, так как в результате получатся лишь спектр единственной реализации процесса. По одному ограниченному отрезку сигнала можно получить только некоторую оценку его спектра. Поэтому для спектрального анализа случайных сигналов необходимо использовать усреднение спектра.

Кроме того, в ряде случаев нам известна некоторая дополнительная информация об анализируемом сигнале, и эту информацию желательно учесть в спектральном анализе.Чем меньше известно о параметрах сигнала до его оценки, тем выше погрешность оценки.

Непараметрические методы

Методы, в которых используется только информация, извлеченная из самого входного сигнала, без каких-либо дополнительных предположений, называются непараметрическими (nonparametric).

Термин — периодограмма (periodogram) — обозначает оценку спектральной плотности мощности, полученной по N отсчетам одной реализации случайного процесса.

Периодограмма не является адекватной оценкой спектральной плотности мощности, с ростом числа используемых отсчетов значения периодограммы начинают все быстрее флуктуировать.

При вычислении периодограммы по длинному фрагменту случайного сигнала она оказывается весьма изрезанной. Для уменьшения этой изрезанности необходимо применить какое-либо усреднение.

Даньелл (Daniell) предложил сглаживать быстрые флуктуации выборочного спектра путем усреднения по соседним частотам спектра. Данный метод, называемый периодограммой Дапьелла, сводится к вычислению свертки периодограммы со сглаживающей функцией.

В методе Бартлетта (Bartlett) анализируемый сигнал делится на неперекрывающиеся сегменты, для каждого сегмента вычисляется периодограмма и затем эти периодограммы усредняются. Если корреляционная функция сигнала на длительности сегмента затухает до пренебрежимо малых значений, то периодограммы отдельных сегментов можно считать независимыми. В этом случае дисперсия периодограммы Бартлетта обратно пропорциональна числу используемых сегментов, однако с ростом числа сегментов при фиксированном общем числе отсчетов сигнала падает спектральное разрешение (за счет того, что сегменты становятся короче).

Уэлч (Welch) внес в метод Бартлетта два усовершенствования: использование весовой функции и разбиение сигнала на перекрывающиеся фрагменты. Применение весовой функции позволяет ослабить растекание спектра и уменьшить смещение получаемой оценки спектра плотности мощности ценой незначительного ухудшения разрешающей способности. Перекрытие сегментов введено для того, чтобы увеличить их число и уменьшить дисперсию оценки.

Итак, вычисления при использовании метода Уэлча (он называется еще методом усреднения модифицированных периодограмм — averaged modified periodogram method) организуются следующим образом:

1. Вектор отсчетов сигнала делится на перекрывающиеся сегменты. Как правило, на практике используется перекрытие на 50 %. Строго говоря, оптимальная степень перекрытия зависит от используемой весовой функции.

2. Каждый сегмент умножается на используемую весовую функцию.

3.Для взвешенных сегментов вычисляются модифицированные периодограммы.

4. Периодограммы всех сегментов усредняются.

Так же как и для периодограммы Бартлетта, дисперсия оценки, получаемой методом Уэлча, уменьшается примерно пропорционально числу сегментов. Благодаря перекрытию в методе Уэлча используется больше сегментов, поэтому дисперсия оценки спектра плотности мощности оказывается меньше, чем для метода Бартлетта.

Метод Уэлча является наиболее популярным периодограммным методом спектрального анализа.

Параметрические методы

Этот класс методов предполагает наличие некоторой статистической математической модели анализируемого случайного процесса. Процесс спектрального анализа в данном случае включает в себя определение параметров этой модели, и потому такие методы называются параметрическими (parametric). Спектральный анализ сводится в данном случае к решению оптимизационной задачи, то есть поиску таких параметров модели, при которых она наиболее близка к реально наблюдаемому сигналу.

Наиболее простые и часто используемые – это авторегрессионная модель предсказания сигнала и модель линейного предсказание сигнала.

Т.е. для произвольного сигнала процесс получения оценки спектра с достаточной точностью обычно осуществляется несколькими этапами:

1) Определяются общие параметры сигнала

-эффективный диапазон частот(мин-мах),

2) Определяются общие параметры анализа: частота дискретизации и количество отсчетов(окно наблюдения).

3) Производится первичная классификация сигнал-шум-помехи и если возможно производится компенсация помех. Если сигнал содержит значительную случайную составляющую, то необходимо многократное вычисление по различным временным интервалам с последующим усреднением.

4) Для каждого типа измерений определяется набор методов, применение которых в данном случае даст наименьшую погрешность. Наряду с научным подходом требуется определенный уровень эмпирического искусства.

Следует различать задачи спектрального оценивания, обнаружения и оценки параметров, хотя они часто перекрываются в частных случаях.

Спектральное оценивание – общая задача анализа допускающая усредненное представление спектра с исчезновением мелких деталей.

Обнаружение спектральных составляющих – выделение зон спектра с особенностями, например локальные пики. Важным является разрешающая способность выбранного метода.

Оценка параметров – анализ спектральной оценки в локальной зоне, т.е измерение частоты, амплитуды отдельных составляющих.

Рисунок. а- несглаженная периодограмма, позволяющая обнаружить синусоиду; б-сглаженная периодограмма, в которой невозможно обнаружить синусоидальную составляющую.