Свойства преобразования Фурье

Линейность

Изменение масштаба аргумента

Задержка (сдвиг) по времени

Если импульс начинается в нулевой момент времени, то преобразование Фурье будет иметь следующий вид

Рисунок Прямоугольный импульс, задержанный во времени

Рисунок Амплитудный и фазовый спектр задержанного прямоугольного импульса

После сдвига импульса во времени амплитудный спектр остался неизменным, а фазовый приобрел сдвиг, линейно зависящий от частоты.

Симметричность

Произведение сигналов

Свертка сигналов

Связь между корреляционными функциями и спектрами сигналов

Поскольку как корреляционные функции, так и спектры являются интегральными преобразованиями анализируемых сигналов, логично предположить, что эти характеристики как-то связаны друг с другом. Для выявления этой связи подвергнем взаимную корреляционную функцию преобразованию Фурье, считая, что сигналы s₁(t) и s₂(t) имеют спектральные функции и :

Напоминание:

Соответственно, S₁()S₂*() = W₁₂().

B₁₂()  W₁₂()  W*₂₁(). B₂₁()  W₂₁()  W*₁₂().

Полученный результат очень прост: ВКФ связана преобразованием Фурье с так называемым взаимным спектром сигналов.

Отсюда можно сделать очень важный вывод: если спектры сигналов не перекрываются, то их взаимный спектр равен нулю на всех частотах, а значит, равна нулю и их ВКФ при любых временных сдвигах τ. Таким образом, сигналы с неперекрывающимися спектрами являются некоррелированными. Это действительно как для детерминированных, так и для случайных сигналов и процессов.

Приняв s₁(t) = s₂(t) = s(t), получаем аналогичный результат для АКФ:

Итак, КФ сигнала связана преобразованием Фурье с квадратом модуля спектральной функции, или с энергетическим спектром сигнала.

ВКФ двух сигналов связана преобразованием Фурье с их взаимным спектром. Произведение S₁()S₂*() представляет собой взаимный энергетический спектр W₁₂() сигналов s₁(t) и s₂(t). Запишем эту связь в виде формулы обратного преобразования Фурье:

Теперь подставим в эту формулу значение т = 0 и раскроем выражения для ВКФ и взаимного спектра. Получится соотношение, именуемое теоремой Рэлея:

Если теперь принять сигналы одинаковыми s₁(t) = s₂(t) = s(t), получится соотношение, позволяющее вычислять энергию сигнала как во временной, так и в частотной области и называемое равенством Парсеваля:

Следствия

Следовательно, КФ сигнала не зависит от его фазового спектра. Следовательно, сигналы, амплитудные спектры которых одинаковы, а фазовые различаются, будут иметь одинаковую КФ. Еще одно следствие заключается в том, что по КФ нельзя восстановить исходный сигнал (опять же из-за утраты информации о фазе). Сигналы одной формы и сдвинутые во времени имеют одинаковые АКФ. Больше того, сигналы разной формы могут иметь сходные АКФ, если имеют близкие спектры мощности.

Ограничения на вид АКФ

Последние выражение накладывает определенные ограничения на форму АКФ и методику их ограничения по длительности.

Энергетический спектр сигналов всегда положителен, мощность сигналов не может быть отрицательной. Следовательно, АКФ не может иметь формы прямоугольного импульса, т.к. преобразование Фурье прямоугольного импульса – знакопеременный интегральный синус.

На АКФ не должно быть и разрывов первого рода (скачков), т.к. с учетом четности АКФ любой симметричный скачек по координате  порождает “разделение” АКФ на сумму определенной непрерывной функции и прямоугольного импульса длительностью 2с соответствующим появлением отрицательных значений в энергетическом спектре. Пример последнего приведен на рис. 8.3.1 (графики функций приведены, как принято для четных функций, только своей правой частью).

АКФ достаточно протяженных сигналов обычно ограничиваются по размерам (исследуются ограниченные интервалы корреляции данных от –Т/2 до Т/2). Однако усечение АКФ, это умножение АКФ на прямоугольный селектирующий импульс длительностью Т, что в частотной области отображается сверткой фактического спектра мощности со знакопеременной функцией интегрального синуса sinc(T/2). С одной стороны, это вызывает определенное сглаживание спектра мощности, что зачастую бывает полезным, например, при исследовании сигналов на значительном уровне шумов. Но, с другой стороны, может происходить и существенное занижение величины энергетических пиков, если в сигнале имеются какие-либо гармонические составляющие, и появление отрицательных значений мощности на краевых частях пиков и скачков. Пример проявления данных факторов приведен на рис.

Рис.. Вычисление энергетического спектра сигнала по АКФ разной длины.

Спектральная плотность мощности и автокорреляция

Спектральная плотность мощности G_x(f) особенно полезна в системах связи, поскольку она описывает распределение мощности сигнала по диапазону частот. Спектральная плотность мощности позволяет оценить мощность сигнала, который будет передаваться через сеть с известными частотными характеристиками.

Основные свойства функций спектральной плотности мощности можно сформулировать следующим образом.

1. G_x(f)>= 0 всегда принимает действительные значения

2. G_x(f) = G_x(-f) для Х(t), принимающих действительные значения

3. G_x(f) <-> R_x(τ) автокорреляция и спектральная плотность мощности являются Фурье-образами друг друга

4. связь между средней нормированной мощностью и спектральной плотностью мощности.

Корреляция двух явлений, показывает, насколько близко они соотносятся по поведению или виду и насколько они совпадают. В математике автокорреляционная функция сигнала (во временной области) описывает соответствие сигнала самому себе, смещенному на некоторый промежуток времени. Точная копия считается созданной и локализированной на минус бесконечности и путем последовательного перемещения копии в положительном направлении временной оси вычисляется величина похожести для каждого момента времени. Корреляция между двумя сигналами изображается как функция времени, обозначаемого т; при этом время т можно рассматривать как параметр сканирования.

На рис., а—г изображена описанная выше ситуация в некоторые моменты времени. Рис., а иллюстрирует отдельный сигнал стационарного в широком смысле случайного процесса X(t). Сигнал представляет собой случайную двоичную последовательность с положительными и отрицательными (биполярными) импульсами единичной амплитуды. Положительные и отрицательные импульсы появляются с равной вероятностью. Длительность каждого импульса (двоичной цифры) равна Т секунд, а среднее, или величина постоянной составляющей случайной последовательности, равно нулю. На рис. 1.6, б показана та же последовательность, смещенная во времени на T секунд. Согласно принятым обозначениям, эта последовательность обозначается X(t-τ₁). Предположим, что процесс X(t) является эргодическим по отношению к автокорреляционной функции, поэтому для нахождения Rx(τ) мы можем использовать усреднение по времени вместо усреднения по ансамблю. Значение Rx(τ) получается при перемножении двух последовательностей X(t) и X(t-τ₁) с последующим нахождением среднего с помощью уравнения , которое справедливо для эргодических процессов только в пределе. Впрочем, интегрирование по целому числу периодов может дать нам некоторую оценку Rx(τ).

Отметим, что Rx(τ₁) может быть получено при смещении X(t) как в положительном, так и отрицательном направлении. Подобный случай иллюстрирует рис. в, на котором использована исходная выборочная последовательность (рис. а) и ее смещенная копия (рис., б). Заштрихованные области под кривой произведения X(t)X(t-τ₁) вносят положительный вклад в произведение, а серые области — отрицательный. Интегрирование X(t) X(t-τ₁) по времени передачи импульсов дает точку Rx(τ₁) на кривой Rx(τ). Последовательность может далее смещаться на τ₂, τ₃, …, и каждое такое смещение будет давать точку на общей автокорреляционной функции Rx(τ), показанной на рис., г. Иными словами, каждой случайной последовательности биполярных импульсов соответствует автокорреляционная точка на общей кривой, приведенной на рис., г. Максимум функции находится в точке Rx(0) (наилучшее соответствие имеет место при τ, равном нулю, поскольку для всех τ Rx(τ) <= Rx(0) ), и функция спадает по мере роста т. На рис. , г показаны точки, соответствующие Rx(0) и Rx(τ₁)).

Аналитическое выражение для автокорреляционной функции Rx(t), приведенной на рис. , г, имеет следующий вид.

(*)

Отметим, что автокорреляционная функция дает нам информацию о полосе частот занимаемых сигналом.

Рис. Автокорреляция и спектральная плотность мощности

Предположим, что сигнал изменяется очень медленно (сигнал имеет малую ширину полосы). Если мы будем смещать копию сигнала вдоль оси t, задавая на каждом этапе смещения вопрос, насколько соответствуют друг другу копия и оригинал, соответствие достаточно долго будет довольно сильным. Другими словами, треугольная автокорреляционная функция (рис., г и формула (*)) будет медленно спадать с ростом τ. Предположим теперь, что сигнал меняется достаточно быстро (т.е. имеем большую полосу). В этом случае даже небольшое изменение τ приведет к тому, что корреляция будет нулевой и автокорреляционная функция будет иметь очень узкую форму. Следовательно, сравнение автокорреляционных функций по форме дает нам некоторую информацию о ширине полосы сигнала. У сигнала с узкой полосой широкий пик корреляционной функции, а у сигнала с широкой полосой узкий пик корреляционной функции.

Автокорреляционная функция позволяет явно выражать спектральную плотность мощности случайного сигнала. Поскольку спектральная плотность мощности и автокорреляционная функция являются Фурье-образами друг друга, спектральную плотность мощности, Gx(f), случайной последовательности биполярных импульсов можно найти как Фурье-преобразование функции Rx(τ), аналитическое выражение которой дано в уравнении (*).Заметим, что

где

Общий вид функции Gx(f) показан на рис., д. Отметим, что площадь под кривой спектральной плотности мощности представляет собой среднюю мощность сигнала.

Одной из удобных мер ширины полосы является ширина основного спектрального лепестка. На рис. , д показано, что ширина полосы сигнала связана с обратной длительностью символа или шириной импульса. Рис. , е—к формально повторяют рис. , а-д, за исключением того, что на последующих рисунках длительность импульса меньше. Отметим, что для более коротких импульсов функция Rx(τ) уже (рис. 1.6, и), чем для более длительных (рис., г). На рис. 1.6, и Rx(τ₁) = 0; другими словами, в случае меньшей длительности импульса смещения на τ₁ достаточно для создания нулевого соответствия или для полной потери корреляции между смещенными последовательностями. Поскольку на рис. , е длительность импульса Т меньше (выше скорость передачи импульса), чем на рис. , а, занятость полосы на рис. , к больше занятости полосы для более низкой частоты импульсов, показанной на рис. , д.

Интервал корреляции сигнала является числовым параметром оценки ширины АКФ и степени значимой корреляции значений сигнала по аргументу.

Рис. 8.3.3.

Если допустить, что сигнал s(t) имеет примерно равномерный энергетический спектр с верхней граничной частотой до _в (форма центрированного прямоугольного импульса, как, например, сигнал 1 на рис. 8.3.3 с f_в=50 Гц в одностороннем представлении), то АКФ сигнала определится выражением:

B_s() = (W_o/)cos() d = (W_o_в/) sin(_в)/(_в).

Интервалом корреляции сигнала _к считается величина ширины центрального пика АКФ от максимума до первого пересечения нулевой линии. В данном случае для прямоугольного спектра первое пересечение нуля соответствует sin(_в) = 0 при _в = , откуда:

_к = /_в =1/2f_в. (8.3.4)

Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. Для сигналов с плавным срезом по верхней граничной частоте роль параметра _в играет средняя ширина спектра (сигнал 2 на рис. 8.3.3).

Спектральная плотность мощности статистических шумов при единичном измерении представляет собой случайную функцию W_q() со средним значением W_q()  _q², где _q² – дисперсия шумов. В пределе, при равномерном спектральном распределении шумов от 0 до , АКФ шумов стремится к значению B_q()  _q² при   0, B_q()  0 при   0, т.е. статистические шумы не коррелированны (_к  0).

В общем случае, за исключением спектров четных функций, из условия несоблюдения четности для функций ВКФ следует, что взаимные энергетические спектры являются комплексными функциями:

U() = A_u() + j B_u(), V() = A_v() + j B_v().

W_uv = A_uA_v+B_uB_v+j (B_uA_v - A_uB_v) = Re W_uv(w) + j Im W_uv(),

и содержат определенную фазовую характеристику гармонических составляющих ВКФ, которой и формируется сдвиг максимума ВКФ.

На рис. 8.3.4 можно наглядно видеть особенности формирования ВКФ на примере двух одинаковых по форме сигналов, сдвинутых относительно друг друга.

А. Сигналы В. Спектры С. Фазовые углы Д. Сигналы и ВКФ

Рис. 8.3.4. Формирование ВКФ.

Форма сигналов и их взаимное расположение приведены на виде А. Модуль и аргумент спектра сигнала s(t) приведены на виде В. Модуль спектра u(t) тождественен модулю S(). На этом же виде приведен модуль спектра взаимной мощности сигналов W_su()= S()·U*(). Как известно, при перемножении комплексных спектров модули спектров перемножаются, а фазовые углы складываются, при этом для сопряженного спектра U*() фазовый угол меняет знак. Если первым в формуле вычисления ВКФ (8.2.1) стоит сигнал s(t), а сигнал u(t-) на оси ординат стоить впереди s(t), то фазовые углы S() по мере увеличения частоты нарастают в сторону отрицательных значений углов (без учета периодического сброса значений на 2), а фазовые углы U*() по абсолютным значениям меньше фазовых углов s(t) и нарастают (за счет сопряжения) в сторону положительных значений. Результатом умножения спектров (как это видно на рис. 8.3.4, вид С) является вычитание из фазовых углов S() значений углов U*(), при этом фазовые углы спектра W_su() остаются в области отрицательных значений, что обеспечивает сдвиг всей функции ВКФ (и ее пиковых значений) вправо от нуля по оси  на определенную величину (для одинаковых сигналов – на величину разности между сигналами по оси ординат). При смещении начального положения сигнала u(t) в сторону сигнала s(t) фазовые углы W_su() уменьшаются, в пределе до нулевых значений при полном совмещении сигналов, при функция B_su(t) смещается к нулевым значениям , в пределе до обращения в АКФ (при одинаковых сигналах s(t) и u(t)).