Необходимые и достаточные условия существования финальных вероятностей

Для существования финальных вероятностей одного условия недостаточно, требуется выполнение ещё некоторых ус­ловий, проверить которые можно по графу состояний, выделив в нём так называемые существенные и несущественные состояния.

Определение. Состояние S_i называется существенным, если нет другого состояния S_j, т. е. такого, что, перейдя однажды каким-то способом из S_i в S_j, система уже не может вернуться в S_i.. Все состояния, не обладающие таким свойством, называются несущественными.

Рассмотрим примep, представленный на рисунке 2.3.

Рис. 2.3. Существенные и несущественные состояния системы

Состояния S_1, S₂ и S₅ – несущественные, так как из S₁ можно уйти, например, в состояние S₂ и не вернуться, а из состояния S₂ в состояние S₃ или S₄ и не вернуться, аналогично из состояния S₅ в состояние S₆ и S₇. Состояния S₃, S_4, S₆ и S₇ – существенные состояния.

Теорема. При конечном числе состояний для существования финальных вероятностей необходимо и достаточно, чтобы из каж­дого существенного состояния можно было (за какое-то число ша­гов) перейти в каждое другое существенное состояние.

Граф из примера (рис. 2.3) этому условию не удовлетворяет, так как из существенного состояния S₄ нельзя перейти в существенное состояние S₇.

Если система S имеет конечное число состояний, то для существования финальных вероятностей достаточно, чтобы из любого состояния системы можно было (за какое-то число шагов) перейти в любое другое состояние.

Если число состояний бесконечно, то это условие перестаёт быть достаточным, и существование финальных вероятностей зависит не только от графа состояний, но и от интенсивности .