2.5. Математическое представление потока событий

При исследовании непрерывных марковских цепей бывает удобно представить переход системы из состояния в состояние как воздействие каких-то потоков собы­тий (поток заявок на обслуживание, поток автомобилей, поток до­кументов и т. п.).

Поток событий представляет собой в общем случае просто последовательность случайных точек ₁, ₂,…, _n,… на оси времени 0t (см. рис. 2.4) с разделяющими их случайными интервалами t₁, t₂,…, t_n-1, t_n,…, так что t₁ = ₂ – _1, t₂ = ₃ – _2,…, t_n = _n+1 – _n.

0 ₁ ₂ ₃ _n-1 _n _n+1 t

Рис. 2.4. Представление потока случайных событий на временной оси

Потоки событий различаются между собой по их внутренней структуре: по законам распределения интервалов t₁, t₂,… между событиями. Для описания распределения интервалов между событиями могут использоваться различные законы распределения: нормальный, равномерный, экспоненциальный (наиболее часто используемый). Также потоки различаются по их взаимной зависимости или независимости и т. д.

С первого взгляда наиболее простым представляется поток событий, в котором интервалы между событиями строго одинаковы и равны определённой неслучайной величине . Такой поток событий называется регулярным. Примеры регулярных потоков представляют собой поток изменений минутной цифры на вокзальных электронных часах, поток изменений состояний ЭВМ, определяемый тактом её работы и т. п.

Регулярный поток событий довольно редко встречается на практике. Он представляет определённый интерес как предельный случай для других потоков. Однако, несмотря на свою видимую простоту, регулярный поток не имеет преимуществ при проведении расчётов.

Математическая модель простейшего пуассоновского потока

На практике чаще всего ограничиваются рассмотрением простейшего (пуассоновского) потока заявок.

Определение. Поток событий, обладающий свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия, называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Для простейшего потока событий вероятность того, что на участке времени длины  наступит ровно k событий, имеет распределение Пуассона и определяется по формуле:

Р{X(t,) = k} = a^k e^-a/k! (k=0, 1, 2,…),

где а = ,  – интенсивность потока.

Физический смысл интенсивности потока событий – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени (число заявок в единицу времени), размерность – 1/время.

Простейшим этот поток назван потому, что исследование систем, находящихся под воздействием простейших потоков, проводится самым простым образом.

Распределение интервалов между заявками для простейшего потока будет экспоненциальным (показательным) с функцией распределения и плотностью, где– интенсивность поступления заявок в СМО.

Рассмотрим основные свойства простейшего потока:

• стационарность;

• ординарность;

• отсутствие последействия.

Стационарность. Свойство стационарности проявляется в том, что вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени зависит только от длины участка и не зависит от его расположения на оси. Другими словами, стационарность означает неизменность вероятностного режима потока событий во времени. Поток, обладающий свойством стационарности, называют стационарным. Для стационарного потока среднее число событий, воздействующих на систему в течение единицы времени, остаётся постоянным. Реальные потоки событий в экономике предприятия яв­ляются в действительности стационарными лишь на ограниченных участках времени.

Ординарность. Свойство ординарности потока присутствует, если вероятность попадания на элементарный участок времени двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с длиной этого участка. Свойство ординарности означает, что за малый промежуток времени практически невозможно появление более одного события. Поток, обладающий свойством ординарности, называют ор­динарным. Реальные потоки событий в различных экономических системах либо являются ординарными, либо могут быть достаточно просто приведены к ординарным.

Отсутствие последействия. Данное свойство потока состоит в том, что для любых непересекающихся участков времени количество событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другие участки времени. Поток, обладающий свойством отсутствия последействия, называют потоком без последействия.

Поток событий, одновременно обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия, называется простейшим потоком событий.