Свойства сигналов

Детерминированные сигналы и их параметры

Если закон изменения параметров сигнала известен совершенно точно, то такой сигнал называется детерминированным. Этот сигнал не содержит в себе никакой неопределенности, следовательно, не несет никакой информации (он либо существует всегда, либо не существует).

Одномерная гармоническая функция

Гармонические сигналы – sin/cos. Представление в комплексном виде.

f – «линейная» частота.

ω - «круговая» частота.

Двумерная гармоническая функция

Экспоненциальные последовательности определяются следующим образом:

,

где а и b — комплексные числа. Если абсолютные значения а и b равны единице, их можно записать в виде

,

В этом случае экспоненциальная последовательность становится комплексной синусоидальной последовательностью:

(1.10)

Экспоненциальные последовательности представляют особый интерес, так как они, как будет показано далее, являются собственными функциями двумерных линейных систем, инвариантных к сдвигу.

Рис Графическое представление двумерной последовательности

В то время как теории обработки одномерных и двумерных сигналов существенно различаются, дальнейшее повышение размерности не приводит к заметным отличиям от двумерного случая, кроме повышения сложности вычислений. Поэтому, чтобы не усложнять рассуждения, математические выражения и иллюстрации, будут рассматриваться в основном для одномерных и двумерных задач, которые получили широкое распространение на практике. В большинстве случаев обобщение на случай большего числа измерений осуществляется достаточно просто. В ходе рассуждений, приводящих к обобщению некоторых одномерных понятий на многомерные, многое может дать интуиция, перенесенная из мира одномерных сигналов, но вместе с тем окончательный результат часто оказывается неожиданным и противоречащим интуитивным соображениям.

Многие операции при обработке при обработке одномерных сигналов используются и для многомерных сигналов, например дискретизация, фильтрация и вычисление преобразований. Обработка многомерных сигналов может иметь существенные отличия. Это объясняется несколькими факторами: 1) математические методы описания многомерных систем не отличаются той завершенностью, которая характерна для математических методов описания одномерных сигналов и систем; 2) многомерные сигналы системы обладают значительно большим числом степеней свободы, в результате чего проектирование приобретает гибкость, несвойственную одномерным системам.

Непрерывные, дискретные, квантованные, цифровые сигналы

а) Непрерывные (аналоговые или континуальные) сигналы – описываются непрерывной функцией времени и имеют непрерывную шкалу значений величины. Термин «аналоговый» подчеркивает, что такой сигнал «аналогичен» или полностью подобен порождающему его физическому процессу. В континуальном сигнале нельзя увидеть составляющие его элементы: они принципиально не могут быть отделены друг от друга и сосчитаны. Континуальный сигнал представляет собой несчетное множество. Примером континуального сигнала может служить радиовещательный сигнал.

б) Квантованные сигналы - непрерывные во времени и квантованные по уровню (процесс квантования выполняется компараторами).

в) Дискретные сигналы - дискретные во времени и непрерывные по уровню.

Дискретизацией называется операция преобразования непрерывного функции в ряд ее дискретных значений, например, ординат s(nT) через определенные промежутки времени. При этом должно быть известно правило соединения ординат, по которому функция восстанавливается однозначно.

г) Цифровые сигналы – дискретные во времени и квантованные по уровню.

Дискретизация и квантование может быть равномерным и неравномерным.

Любой реальный «дискретный» или «цифровой» сигнал является непрерывным (конечное время изменения сигнала), цифровая форма является удобной моделью для его обработки (выполнения арифметических и логических функций).

Классификация сигналов по форме(функция времени).

Сигналы можно делить на непрерывные и разрывные.

Непрерывные сигналы характеризуются плавным изменением своих значений, т. е. существует, по крайней мере, несколько первых производных функций s(t) – степень гладкости функции. Примером непрерывного сигнала может служить гармоническое (синусоидальное) колебание

Это колебание простирается бесконечно в обе стороны по оси времени (рис. В.4а) и может быть продифференцировано бесконечное число раз. В качестве второго примера можно привести вещательный сигнал (рис. В.4б), соответствующий передаваемой речи, музыке. Сигнал изменяется достаточно плавно, несколько его первых производных не терпят разрыва.

Рис. В.4. Непрерывные сигналы: а) гармонический, б) радиовещательный

В противоположность непрерывным колебаниям (сигналам) разрывные терпят разрыв в некоторые моменты времени (рис. В.5а).

Это означает, что могут иметь место разрывы производных. На рис. В.5б показан сигнал с разрывной первой производной.

Рис. В.5. Разрывные сигналы:

а) разрывы имеет функция s(t), б) разрывы имеет первая производная s'(t)

Импульсные сигналы(видеосигналы) и импульсные сигналы с высокочастотным заполнением (радиосигналы)

Видеосигнал отображает сообщение, подлежащее передаче. Так, сигнал, отображающий речь, музыку или изображение, является видеосигналом. Радиосигнал отображает как сообщение, так и то высокочастотное колебание, которое переносит это сообщение. На рис. В.7а показан видеосигнал, а на рис. В.7б — соответствующий ему радиосигнал, переносящий это же сообщение. Радио сигнал представляет собой высокочастотное колебание, промодулированное видеосигналом.

Рис. В7. Форма сигналов. а) видеосигнала, б) радиосигнала.

Амплитуда – максимальное значение синусоидальной переменной величины. Амплитуда, например, как наибольшее из мгновенных значений величины синусоидальной, обозначается .

Длительность импульса – интервал времени, в течении которого мгновенное значение импульса существенно отличается от нуля.

Длительность импульса в каждом конкретном случае может определяться по-разному. Так, в качестве длительности импульса может быть выбран интервал времени, в течение которого мгновенное значение превосходит заданный или выбранный уровень (например, 10% амплитудного значения). Если уровень составляет 50% от амплитуды импульса, то говорят о длительности импульса на уровне 0,5. Допускается регламентировать длительность реального импульса через длительность равновеликого по площади или энергии прямоугольного импульса с равной амплитудой. Способ определения должен указываться вместе с измеренным значением.

Длительность периода (длительность колебания) – наименьший промежуток времени, по прошествии которого периодически изменяющаяся величина повторяет свои значения. Величиной, обратной длительности периода, является частота.

Значение постоянное (среднее арифметическое значение периодической величины) – усредненное по времени среднее арифметическое значение периодической величины в течение одного периода или интервала наблюдения для случайной величины

.

Для дискретных сигналов

,

где N – количество отчетов(выборок) сигнала,

x(i) – значение i-й выборки сигнала.

У постоянных величин мгновенное значение и постоянное значение совпадают. Смешенная величина имеет отличное от нуля постоянное значение. У переменных величин постоянное значение равно нулю, например, синусоида. В этом случае говорят о средневыпрямленном значении.

Значение средневыпрямленное – усредненное по времени среднее арифметическое абсолютного значения периодической величины в течение одного периода или интервала наблюдения для случайной величины

.

Для дискретных сигналов

,

где N – количество отчетов(выборок) сигнала,

x(i) – значение i-й выборки сигнала.

Значение эффективное. Эффективное (действующее) значение– среднее квадратическое значение периодической величины в течение одного периода или интервала наблюдения для случайной величины

.

Для дискретных сигналов

,

где N – количество отчетов(выборок) сигнала,

x(i) – значение i-й выборки сигнала.

Эффективное значение переменной во времени величины вызывает за время наблюдения такой же эффект (например, тепловое воздействие тока или величина вращающего момента), как значение постоянной величины.

Коэффициент амплитуды – отношение амплитудного значения к эффективному значению переменной величины.

Коэффициент формы – отношение эффективного значения к средневыпрямленному значению переменной величины.

Коэффициент скважности

,

Коэффициент заполнения

,

Скорость изменения (дифференцирование, производная).

Мощность, энергия(интегрирование)

Если к активному сопротивлению(резистор) R приложено постоянное напряжение U, то через него будет протекать ток I (закон Ома):

Выделяющаяся в резисторе тепловая мощность будет равна

и за время T в резисторе выделится тепловая энергия, равная .

Если к нагрузке приложено изменяющееся напряжение s(t), то мгновенная мощность равна , а величина выделяющейся энергии за время Т равно .

Разделив величину энергии на длительность временного интервала получим среднюю мощность .

Для периодических сигналов интегрирование выполняется по периоду. Для сигналов определенных на бесконечности интервал интегрирования устремляют в бесконечность

Принято бесконечные периодические и случайные сигналы выражать через мощность, а ограниченные сигналы через энергию.

Часто сопротивление нагрузки в теоретических выкладках принимают равным 1 Ому, следовательно,

- размерность В² или А², но подразумевается деление или умножение на 1 Ом.

Специальные функции

Некоторые последовательности настолько важны, что удостоились специальных названий или символов.

Функция Хевисайда(функция включения)

Дельта-функция

Полезной функцией в теории связи является так называемая дельта-функция Дирака, или единичный импульс, . Функцию можно определить из любой фундаментальной функции (например, прямоугольного или треугольного импульса). В любом случае импульсная функция определяется в пределе (амплитуда импульса стремится к бесконечности, длительность импульса — к нулю, а площадь импульса равна единице).

Единичная импульсная функция имеет следующие свойства.

Формула представляет просеивающее (или выборочное) свойство дельта-функции; результат интегрирования функции x(t) с дельта-функцией — выборка функции x(t) в точке t = t₀. Это очень важное свойство является теоретической базой процесса дискретизации.

В некоторых задачах полезными бывают следующие представления дельта-функции в частотной и временной областях.

Двумерные функции

Двумерный единичный импульс , определяется следующим образом:

Рис. 1.2. Двумерная единичная импульсная функция

Двумерный линейный импульс — это последовательность, имеющая постоянное значение в одном направлении и импульсная — в другом.

(1.5а)

(1.5б)

Рис. 1.3. Два примера двумерных линейных импульсов. а — ; б —

Другой особой последовательностью является двумерная единичная ступенька . Двумерная единичная ступенька отлична от нуля в одном квадранте^-плоскости. Ступенька определяется следующим образом:

(1.6)

Рис. 1.4. Двумерная единичная ступенька

Очевидно, что для M-мерного случая мы можем определить не только M-мерные единичные импульсы, но и М-мерные линейные импульсы, М-мерные плоскостные импульсы и т. д.

Принципы динамического представления сигналов

Реальный сигнал представляется суммой последовательно возникающих специальных функций. Ошибка представления будет снижаться с уменьшением длительности элементарных интервалов и в пределе стремится к нулю. Широко применяются сигналы включения Хевисайда и дельта-функция Дирака.

Рис Представление сигнала функциями включения

В этой сумме отличны от нуля будет только член с номером «k».

Рис Представление сигнала дельта-функциями Дирака

Случайные величины и сигналы

Если для детерминированного сигнала можно заранее определить значения в заданные моменты времени, то для случайного сигнала можно заранее лишь указать, с какой вероятностью он будет иметь то или иное значение. Мгновенные значения не предсказуемы, но ряд характеристик можно описать в вероятностном смысле. Вероятностные законы возникают всегда, если физическая система, порождающая случайный сигнал, представляет собой объединение очень большого числа более мелких подсистем, совершающих некоторые индивидуальные движения, в большей или меньшей степени не зависящие друг от друга.

Строго говоря, все физические величины подвержены флуктуациям, однако в ряде случаев при заданной точности измерений с ними можно не считаться вследствие их малости. Например, о сигнале радиовещательной станции известны его несущая частота, занимаемая им полоса частот, а закон модуляции параметров, в котором содержится передаваемое сообщение, заранее неизвестен. Задача устройства обработки и состоит в измерении этих параметров. В радиотехнике случайные сигналы - это шум, природой которого является хаотическое движение электронов, атмосферными разрядами, излучением Солнца и т. д.

В теории ЦОС случайные величины и сигналы играют большую роль, но для упрощенного обзора их можно не рассматривать.

Квантование как причина возникновения случайной составляющей (ошибки) в цифровых системах.