Оптимальные методы

Оптимальные методы, в которых численными итерационными методами ищется минимум заданной функции качества.

Чаще всего отправной точкой при расчете фильтра служит его желаемая частотная характеристика — либо АЧХ (когда фазовые характеристики не важны), либо комплексный коэффициент передачи. В качестве минимизируемой меры отклонения характеристики фильтра от заданной в общем случае используется р-норма ошибки. Такая норма L_p для функции f(x), определенной на интервале от a до b, рассчитывается следующим образом:

При р=2 норма L₂ пропорциональна среднеквадратическому значению функции. При норма L_x дает максимальное (по модулю) значение функции, достигаемое на рассматриваемом интервале. При р=∞ рассматриваемая норма ошибки равна максимальному абсолютному отклонению характеристики от заданной. Минимизация этой нормы соответствует минимаксной аппроксимации (minimax approximation) и дает фильтры с равномерными пульсациями АЧХ (equiripple filter). Для минимаксного синтеза нерекурсивных фильтров используется метод чебышевской аппроксимации с использованием алгоритма многократной замены Ремеза.

Поскольку корень р-й степени при любом р является монотонно возрастающей функцией, при расчете минимизируемой величины его можно не вычислять.

Использование весовой функции позволяет придать разную значимость различным участкам частотной оси. В частности, это дает возможность задать переходные зоны, поведение АЧХ в которых не имеет значения. В этих зонах значение весовой функции должно быть нулевым.

В общем случае задача не имеет аналитического решения и поэтому должна решаться итерационными численными методами. Минимизация ошибки приводит к появлению больших выбросов АЧХ при попытке аппроксимировать ее скачкообразное изменение. Это связано с явлением Гиббса. Для уменьшения влияния эффекта Гиббса при этом может использоваться наложение ограничений на предельное абсолютное отклонение частотной характеристики от заданной.