1.1. Понятие обобщенного вектора

Большинство электрических машин переменного тока предназначено для работы в трехфазных сетях, поэтому они строятся с симметричными трехфазными обмотками на статоре, причем МДС этих обмоток распределены в пространстве по закону близкому к синусоидальному, т.е. МДС, создаваемая k-й обмоткой в точке, отстоящей от оси этой обмотке на угол  _k равна –F _k=F_k0cos _k, где F_k0 – МДС, соответствующая оси k-й обмотки. Синусоидальность распределения позволяет представить МДС или пропорциональные им токи обобщенным пространственным вектором на комплексной плоскости, т.е. вектором, представляющим собой геометрическую сумму отрезков, построенных на пространственных осях фазных обмоток и соответствующих мгновенным значениям фазных МДС или токов. При этом проекции обобщенного вектора на оси фазных обмоток в любой момент времени будут соответствовать мгновенным значениям соответствующих величин.

При симметричной трехфазной системе обмоток обобщенный вектор тока можно представить в виде

где – операторы поворота, аi_a, i_b и i_c – мгновенные значения токов соответствующих обмоток. Обозначение вектора строчным символом принято для указания на то, что его координаты являются функциями времени аналогично тому, как строчные символы при обозначении скалярных величин указывают на мгновенное значение.

При таком представлении фазные токи i_a, i_b и i_c можно рассматривать как проекции вектора i на соответствующие оси фазных обмоток (рис. 1.1 а)). Если произвести построение вектора i , откладывая значения фазных токов i_a, i_b и i_c на осях обмоток (рис. 1.1 б)), то суммарный вектор окажется в полтора раза больше того вектора, проекции которого соответствуют фазным токам. Поэтому в выражении (1.1.1) присутствует коэффициент 2/3, приводящий модуль суммарного вектора к такому значению, которое при проецировании на оси фазных обмоток даст истинные значения фазных токов.

Если статор машины имеет нулевой провод, то фазные токи могут содержать нулевую составляющую и их значения можно представить в виде i_a+i_o, i_b+i_o и i_c+i_o. Тогда вектор тока будет равен

Таким образом, обобщенный вектор тока статора не содержит нулевой составляющей и ее при анализе следует учитывать особо.

Обобщенный вектор, как и любой вектор на комплексной плоскости, можно представить алгебраической формой записи комплексного числа. Обычно это делают, совмещая вещественную ось с осью обмотки a (рис. 1.1), тогда

.

Подставляя в выражение (1.1.1) значения операторов поворота, записанные в алгебраической форме, и разделяя вещественную и мнимую части получим

Если фазные токи содержат нулевую составляющую, то ее значение будет равно .

Переход от представления обобщенного вектора через проекции на оси трехфазных обмоток к представлению через проекции на оси комплексной плоскости эквивалентно преобразованию трехфазной системы обмоток в эквивалентную двухфазную. В матричной форме это преобразование можно записать в виде

Отсюда обратное преобразование координат обобщенного вектора –

Обобщенный вектор можно представить также во вращающейся системе координат. Если вектор тока представлен в неподвижной системе координат  - , то переход к новой системе координат x-y, развернутой относительно исходной на некоторый угол  ^(xy) (рис. 1.2 а)), осуществляется из очевидного соотношения аргументов комплексных чисел в виде

При этом следует заметить, что на угол  ^(xy) не накладывается никаких ограничений, т.е. он может иметь постоянное значение, но может также изменяться произвольным образом. Для системы координат вращающейся с постоянной угловой частотой  ^(xy) он равен –  ^(xy) =  ^(xy)t.

Преобразование координат можно записать в развернутом виде следующим образом

.

Отсюда можно найти составляющие вектора i_x и i_y.или в матричной форме

а также обратное преобразование

Преобразование координат можно осуществить не только от неподвижной системы к вращающейся, но и для двух систем координат, вращающихся с различными угловыми частотами. Пусть вектор i представлен в системе координат d-q, текущий угол которой относительно неподвижных координат составляет  ^(dq) (рис. 1.2 б). Тогда из очевидных соотношений углов преобразование координат можно записать в виде

Обобщенными векторами можно представить также напряжения u и потокосцепления  , при этом все свойства рассмотренного выше обобщенного вектора тока будут присущи и этим векторам.