1.4. Уравнения статора и ротора в векторной форме

Уравнения Кирхгофа для фазных напряжений статора АД имею вид

При наличии нулевых составляющих к выражениям (1.4.1) следует добавить уравнение

.

Перейдем к векторной форме записи выражений (1.4.1), умножив второе уравнение на A, а третье на A² , а затем складывая все три уравнения и умножая их правую и левую части на 2/3. В результате получим

Аналогичные преобразования можно выполнить с системе координат x–y и для фаз ротора, получив при этом

Уравнения (1.4.2) и (1.4.3) записаны в разных системах координат. Для перевода уравнения ротора в неподвижную систему координат  - умножим обе его части на оператор поворота на текущий угол поворота системы координат  – e^j и представим в производной вектор потокосцепления ротора в новой системе как .

После преобразований, опуская индексы координатной системы, получим уравнение ротора в векторной форме в системе координат статора

где  =d /dt – текущая скорость вращения ротора.

Переход к неподвижной системе координат в уравнении ротора привел к разложению слагаемого, соответствующего ЭДС индукции, на две составляющие: первая составляющая d ₂/dt связана с изменением потокосцепления во времени вследствие измерения во времени токов и называется ЭДС трансформации, по аналогии с процессами ее возбуждения в соответствующей электрической машине; вторая –   ₂ связана с изменением потокосцепления вследствие вращения ротора и называется ЭДС вращения. Разложение ЭДС индукции на составляющие является математической операцией, связанной с преобразованием системы координат при условии инвариантности мощности и в некоторых случаях это разложение можно истолковать, исходя из физических процессов в машине.

Уравнения (1.4.2) и (1.4.4) записаны для неподвижной системы координат и их можно объединить в общую систему для решения. Кроме того, оба этих уравнения можно представить в некоторой произвольной системе координат m-n, вращающейся с произвольной угловой частотой  ^(mn). Для этого с ними нужно проделать преобразования аналогичные выражениям (1.4.4), в результате которых мы получим уравнения:

из которых уравнения для любых других систем координат получаются подстановкой в (1.4.5) соответствующей частоты вращения  ^(mn).

Выражения (1.4.5) показывают, что выбором системы координат можно упростить задачу, исключив ЭДС вращения, но только в одном из уравнений.

В дальнейшем мы будем использовать следующие индексы систем координат:

В любой электрической машине угловая частота вращения магнитного поля статора  ₁ связана с угловой частотой вращения магнитного поля ротора  ₂ и угловой частотой вращения ротора  следующим соотношением – , где положительный знак соответствует согласному направлению вращения. Но частоты вращения полей статора и ротора определяются частотами соответствующих токов и числом пар полюсов обмотокz_p, т.е. и, где ₁ и  ₂ – частоты токов статора и ротора. Отсюда

где – угловая частота вращения ротора электрической машины с одной парой полюсов.