Контрольные вопросы и задания

1. Какой процесс называется марковским, стационарным, ординарным?

2. Рассматривается процесс: система представляет техническое устройство, которое осматривается в определенные моменты времени (например, через сутки) и её состояние регистрируется. Каждый осмотр – шаг процесса. Возможные состояния следующие:

s1 – полностью исправно; s2 – частично исправно, необходима наладка;

s3 – серьёзная неисправность, требует ремонта; s4 – непригодно.

Постройте граф состояний для системы.

3. Магазин продаёт две марки автомобилей А и В, для каждой своя матрица переходных вероятностей, соответствующая состояниям: «исправен», «требует гарантийного ремонта». Для А Р_А = , для В Р_В = . Требуется найти вероятности состояний через два года после эксплуатации, если в начальном состоянии автомобиль исправен и определить марку автомобиля наиболее предпочтительную.

4. В городе работают три мобильных оператора: Билайн, МТС и Мегафон и предположим каждый пользуется услугами одного, но может поменять его или нет на другого каждые полгода. Причём результаты опроса показали, что в среднем 15 % Билайн переходят на МТС, 10 % на Мегафон; 20 % МТС переходят на Билайн, 5 % на Мегафон; 5 % Мегафон уходят на МТС и 10 % на Билайн. Постройте матрицу переходных вероятностей. Предположив, что изначально клиенты были распределены равномерно, найти распределение через полтора года, определить какой оператор будет пользоваться наибольшим спросом.

5. Пусть имеется система с состояниями: S₀ – оба узла работают исправно; S₁ – первый работает, второй сломан;

S₂ – второй работает, первый сломан; S₃ – оба неисправны. Возможные переходы из одного состояния в другое изображены на графе. Пусть исправность первого узла приносит доход 10 у. е., а второго – 6 у. е., а их ремонт требует расходов 4 у. е. и 2 у. е. соответственно. Оценить экономический эффект возможности уменьшения вдвое времени на ремонт, если придётся вдвое увеличить затраты.

6. На вход горячей линии, имеющей 9 каналов, поступает в среднем

120 заявок в час. Заявка получает отказ, если все каналы заняты. Среднее время обслуживания в канале равно 4 мин. Все потоки простейшие. Определить вероятность отказа и среднее число занятых каналов.

7. В ремонтную мастерскую с 4 мастерами принимают не более 7 заявок в день, известно среднее число поступающих в час заявок (λ) и среднее время обслуживания (Т_обс). Найти основные показатели эффективности.

8. При проектировании СМО с ограниченной очередью n, число каналов обслуживания m, производительность обслуживания µ заявок в час было рассчитано на характерную для района интенсивность потока заявок λ. Но плотность заявок по некоторым причинам удвоилась (2λ в час). Что целесообразнее для минимизации отказов: удвоить количество каналов или удвоить производительность канала. Рассмотрите случаи: a) m = 1, n = 3, λ = 1,5 , µ = 0,5; b) m = 1, n = 3, λ = 4 , µ=2.

9. На мойке машин имеется три места для мойки и еще не более трёх для стоянки ожидающих машин. Если все эти места заняты, машина уезжает. В среднем за час прибывает 2 машины, среднее время мойки одной машины 1 час. Найти вероятность отказа и среднюю длину очереди.

10. Входной поток покупателей в магазин – простейший с плотностью 3 покупателя в мин. Среднее время обслуживания 2 мин. Работает 8 продавцов, доступ неограничен. Будет ли магазин справляться с потоком? Найти характеристики системы.

11. Диспетчерский пункт принимает заявки на ремонт по нескольким телефонам. Известно среднее число заявок, поступающих в час (λ) и среднее время оформления Т_об. Требуется определить минимальное количество телефонов, при котором вероятность отказа будет менее 10 %. При найденном значении m определить абсолютную пропускную способность и среднее количество занятых каналов (см. таблицы).

Указание. Поскольку явно из общей формулы для нахождения вероятностей выразить m нельзя, то нужно организовать (удобно на листе Excel) пошаговую процедуру определения Р_n для каждого значения m (см. формулы на стр. 32). При этом нужно найти все промежуточные вероятности от Р₀ до Р_n. Убедиться, что их сумма равна 1 и последняя вероятность меньше 0,1.