Реализация дискретных систем

Рекурсивная структура

Алгоритм работы дискретного частотно селективного фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) описывается линейным разностным уравнением, которое эквивалентно дифференциальному уравнению для линейных динамических систем.

Дискретный фильтр суммирует (с весовыми коэффициентами) некоторое количество входных отсчетов (включая последний) и некоторое количество предыдущих выходных отсчетов:

,

где a_j и b_i – вещественные коэффициенты.

Такой фильтр называется рекурсивным.

Получающаяся при этом структура показана на рис. 6.

Рис. 6. Рекурсивный фильтр — прямая реализация

Так как при вычислениях используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме присутствуют обратные связи.

ЗАМЕЧАНИЕ--------------------------------------------------------------------------------------------------

Количество предыдущих входных и выходных отсчетов, используемых для вычислений, может не совпадать. В таком случае порядком фильтра считается максимальное из чисел m и n.

Импульсная характеристика рекурсивного фильтра рассчитывается значительно сложнее, чем для нерекурсивного. Рассмотрим формирование лишь нескольких первых ее отсчетов. При поступлении на вход единичного импульса он умножается на b₀ и проходит на выход. Таким образом,

.

Далее входной единичный импульс попадает во входную линию задержки, а выходной отсчет, равный b₀, — в выходную линию задержки. В результате второй отсчет импульсной характеристики будет формироваться как

.

Продолжив рассмотрение перемещения входного единичного импульса вдоль входной линии задержки и заполнения выходными отсчетами выходной линии задержки, можно получить

Видно, что по мере того, как выходная линия задержки заполняется отсчетами импульсной характеристики, сложность аналитических формул быстро возрастает.

Наличие в схеме обратных связей позволяет получить бесконечную импульсную характеристику, поэтому рекурсивные фильтры называют также фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтрами; английский термин — infinite impulse response, IIR). По этой же причине рекурсивные фильтры могут быть неустойчивыми.

Иногда используют только рекурсивную часть фильтра.

Применяют и другие структуры вычисления по указанным выражениям, позже они будут рассмотрены.

Для расчета коэффициентов существует большое количество различных методик.

Нерекурсивная структура

При ограниченной импульсной характеристике системы(цепи) для вычисления выходной реакции по интегралу Дюамеля используется его прямая реализация

.

Структурная схема, реализующая этот алгоритм, приведена на рис. 4.

Рис. 4. Нерекурсивный фильтр

Некоторое количество предыдущих отсчетов входного сигнала хранится в ячейках памяти, которые образуют дискретную линию задержки. Эти отсчеты умножаются на коэффициенты b_i и суммируются, формируя выходной отсчет y(k).

Количество используемых предыдущих отсчетов т называется порядком фильтра.

ЗАМЕЧАНИЕ ---------------------------------------------------------------------------------------

Согласно свойствам z-преобразования, задержка дискретной последовательности на один такт соответствует умножению ее z-преобразования на . Поэтому элементы памяти, осуществляющие такую задержку, обозначены на структурной схеме как «».

Так как при вычислениях не используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме отсутствуют обратные связи. Поэтому такие фильтры называются нерекурсивными (nonrecursive). Применяется также термин «трансверсальный фильтр» (от английского transversal — поперечный).

Импульсная характеристика нерекурсивного фильтра определяется очень просто. Подставим в уравнение (4.15) единичный импульс x₀(k) в качестве входного сигнала:

.

Но отсчет x₀(k-i) равен нулю для всех k, кроме k=i, когда этот отсчет равен единице. Поэтому мы получаем очень простой результат:

h(k)=b_k

то есть коэффициенты b_i являются отсчетами импульсной характеристики фильтра. Это можно наглядно пояснить с помощью рис. 5.

Рис 5

При подаче на вход единичного импульса он будет перемещаться по линии задержки, умножаться на коэффициенты b₀, b₁, b₂, ... и проходить на выход устройства (ведь все остальные входные сигналы сумматора при этом равны нулю). Очевидно, что в реальном устройстве линия задержки содержит конечное число элементов, поэтому импульсная характеристика нерекурсивного фильтра также является конечной по длительности. Это обусловило еще одно название таких фильтров — фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры; английский термин — finite impulse response, FIR).

Частотная характеристика фильтра легко определяется через дискретное преобразование Фурье

Коэффициент передачи - модуль ЧХ.

ЗАМЕЧАНИЕ -------------------------------------------------------------------------------------------------------

Нерекурсивные цифровые фильтры не являются динамическими системами и устойчивы при любом выборе коэффициентов. Вследствие отсутствия обратных связей любой нерекурсивный фильтр является устойчивым — ведь каковы бы ни были начальные условия (то есть отсчеты, хранящиеся в линии задержки), при отсутствии сигнала на входе (x(k) = 0) выходной сигнал (свободные колебания) будет отличен от нуля в течение не более чем т тактов, необходимых для очистки линии задержки.

Простота анализа и реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами его импульсной характеристики и абсолютная устойчивость привели к тому, что нерекурсивные фильтры широко применяются на практике. Однако для получения хороших частотных характеристик (например, полосовых фильтров с высокой прямоугольностью АЧХ) необходимы нерекурсивные фильтры высокого порядка — до нескольких сотен и даже тысяч.

Нерекурсивные фильтры с симметричной ИХ

Очень важное значение имеет тот факт, что нерекурсивные фильтры позволяют легко обеспечить линейную ФЧХ, а значит, постоянные (не зависящие от частоты) групповую и фазовую задержки. Для этого необходима лишь симметрия импульсной характеристики. Эта симметрия может быть двух типов:

- четная симметрия (even symmetry): для всех k = 0,1, ..., N;

- нечетная симметрия (odd symmetry): для всех k = 0 1,..., N.

ЗАМЕЧАНИЕ -------------------------------------------------------------------------------------------------

Иногда под симметричными подразумевают только характеристики с четной симметрией, а для нечетной симметрии используют термин «антисимметричные».

Групповая задержка для симметричных фильтров не зависит от частоты и равна N/2 отсчетов.

При четном N и нечетной симметрии импульсной характеристики, очевидно, ее средний отсчет должен быть равен нулю: ⁼ 0. Кроме того, четность или нечетность порядка фильтра и наличие того или иного типа симметрии накладывают определенные ограничения на коэффициенты передачи фильтра на нулевой частоте и на частоте Найквиста. Эти ограничения легко получить из условий симметрии и формулы комплексного коэффициента передачи (частотной характеристики) фильтра

Видно, что частотная характеристика дискретной системы, так же как и спектры дискретизированных сигналов, является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации . Сочетание четности порядка фильтра и типа симметрии дает четыре типа симметричных фильтров, перечисленных в табл. 4.1 вместе с указанными ограничениями значений АЧХ. Приведенные в таблице номера типов часто используются в зарубежной литературе.

Таблица 4.1. Типы симметричных фильтров

Частотно селективные фильтры

Наиболее изученными и опробованными на практике являются линейные стационарные цепи частотной селекции – частотно избирательные фильтры. Они почти всегда представляют собой реализованные на новой элементной базе традиционные аналоговые фильтры частотной селекции.

Фильтры частотной селекции - это устройства, целенаправленным образом изменяющие спектры сигналов. Фильтрация сигнала, т. е. изменение его спектра, обычно предпринимается с целью удаления помех или подчеркивания (усиления) каких-нибудь полезных качеств сигнала. Например, при измерении сигналов, получаемых от электродов аппарата ЭКГ, чаще всего приходится применять фильтры, ослабляющие сетевые помехи. Выходной полезный сигнал составляет, как правило, несколько милливольт, и помеха от силовой сети, имеющая частоту 50 Гц, может значительно превосходить его.

Классификация частотно избирательных фильтров может быть проведена по различным признакам, например:

Первый признак — вид входного и выходного сигнала фильтра. Если эти сигналы аналоговые, то фильтр называется аналоговым, если же сигналы представлены цифровым кодом, то фильтр называется цифровым. Возможны и промежуточные варианты: аналого-цифровой фильтр (вход аналоговый, выход цифровой) и цифроаналоговый (вход цифровой, выход аналоговый).

Второй признак — вид частотной характеристики.

В название фильтра входит обычно та частотная полоса, которую фильтр пропускает. Так, фильтр нижних частот — это фильтр, пропускающий нижние частоты сигнала. Поэтому не совсем корректны встречающиеся иногда словосочетания типа «фильтрация помех». Фильтруется, т. е. проходит через фильтр, полезный сигнал, а помеха задерживается, не пропускается.

По этому признаку фильтры делятся на следующие группы: фильтры нижних частот (ФНЧ) пропускают низкочастотные составляющие спектра и задерживают высокочастотные; фильтры верхних частот (ФВЧ) пропускают только высокочастотные составляющие; фильтры полоснопропускающие (ФПП) пропускают составляющие сигнала только в определенной полосе частот; фильтры полосно-заграждающие (ФПЗ) пропускают все составляющие сигнала, за исключением тех, частоты которых входят в определенную полосу; фильтры всепропускающие (ФВП) пропускают все без исключения составляющие сигнала, но изменяют фазовые соотношения между ними. Графики АЧХ упомянутых видов фильтров показаны на рис. 1, а, б, в, г, д. Кроме перечисленных, основных по этому признаку, групп, есть и другие разновидности. Например, резонансный фильтр представляет собой частный случай полосно-пропускающего фильтра, но с очень узкой полосой пропускания (штриховая АЧХ на рис. 1, г). Фильтр-пробка на определенную частоту—это ФПЗ с узкой полосой заграждения (штриховая АЧХ на рис. 1, г). Гребенчатый фильтр — это такой фильтр, который имеет несколько полос пропускания (рис. 1, е).

Рис. 1. Амплитудно-частотные характеристики различных фильтров

Отметим, что в качестве базового при анализе и синтезе фильтров обычно принимается фильтр нижних частот. Именно ФНЧ, как правило, рассматривается в различных публикациях, для него разрабатываются методики синтеза. Остальные же виды фильтров могут быть построены на основе ФНЧ. Так, если из полного сигнала вычесть выходной сигнал ФНЧ, то в итоге мы получим ФВЧ (рис. 2, а). ФПЗ можно построить, если включить параллельно ФНЧ и ФВЧ с разными частотами среза (рис. 2,6). Для построения ФПП достаточно соединить последовательно соответствующим образом рассчитанные ФНЧ и ФВЧ.

Рис. 2. Возможные структуры фильтра верхних частот (а) и полосно-заграждающего фильтра (б)

Третий признак, по ФЧХ, групповой и фазовой задержке.

Линейная ФЧХ, а значит, постоянные (не зависящие от частоты) групповая и фазовая задержки.

Нелинейная ФЧХ.

Четвертый признак, по которому различают разные типы фильтров, — это вид их импульсных характеристик. Непрерывный фильтр — это фильтр с непрерывной ИХ, дискретный фильтр — это фильтр, ИХ которого представлена набором -импульсов. Наконец, импульсный фильтр имеет ИХ, состоящую из последовательности одинаковых по форме импульсов конечной длительности разной амплитуды. В принципе возможны фильтры, при классификации которых по данному признаку возникают некоторые затруднения, но такие фильтры на практике встречаются редко.

Рис. 3. Примеры импульсных характеристик импульсного (а) и дискретного (б) фильтров

На рис. 3 в качестве примера показаны ИХ двух видов фильтров: импульсного КИХ-фильтра (рис. 3, а) и дискретного БИХ-фильтра (рис. 3,6).

Пятый признак — это протяженность импульсной характеристики. Если ИХ финитна, т. е. ограничена во времени, то такие фильтры называют фильтрами с конечной импульсной характеристикой или коротко КИХ-фильтрами. Если ИХ, хотя и затухает со временем, но имеет теоретически не ограниченную во времени протяженность, то соответствующий фильтр называют БИХ-фильтром, т.е. фильтром с бесконечной импульсной характеристикой.

Физические системы описываемые дифференциальными уравнениями (линейные динамические системы) имеют бесконечные импульсные характеристики.

Структурная схема, показанная ранее, называется прямой формой реализации рекурсивного фильтра (direct form I) и не является единственно возможной.

В настоящее время разработано более 2000 структур ЦФ. Многие из разработанных структур не имеют принципиальных отличий по избирательности ЦФ, реализованных на их основе, и по другим характеристикам. Используя практически любую структуру, можно регулярными методами или методами оптимизации получить реализуемую АЧХ с максимально плоской (Баттервортовской) или равноволновой (Чебышевской или эллиптической) аппроксимацией заданной (возможно нереализуемой) АЧХ. Поэтому большинство структур можно свести в несколько групп, отличающихся методами описания БИХ- и КИХ-фильтров системами уравнений.

Различают структуры:

на основе прямых форм 1 и 2 (канонической);

на основе каскадных и параллельных соединений;

на основе связанных форм;

на основе обращенных форм;

лестничные;

волновые;

Грея - Маркела и др.;

на основе частотной выборки;

на основе интерполяционных многочленов Ньютона, Лагранжа, Эрмита, Тейлора и др.;

на основе быстрых преобразований (Фурье, Уолша, Хаара, Адамара, теоретико-числовых преобразований Ферма и Мерсенна)

Структуры фильтров влияют на их свойства, такие как: Чувствительность к квантованию коэффициентов, Уровень шума квантования арифметических операций, Уровень выходных шумов квантования, Эффективность вычислений, Возможности распараллеливания и мультиплексирования, Возможности сжатия динамического диапазона и масштабирования.

Анализируя их применительно к конкретной задаче цифровой обработки информации, можно выбрать наиболее приемлемую структуру ЦФ.

В дальнейшем будет рассматриваться простейшая структура – первая прямая форма.

Простейшие аналоговые и цифровые фильтры

ФНЧ

ФВЧ

Соответствие интегрированию и дифференцированию.